a) Dê um exemplo onde a soma de duas funções
e
é contínua num determinado ponto
, mas que ambas as funções sejam descontínuas em
.
b) Determine os intervalos onde
é contínua.
c) Determine se os pontos de descontinuidade da função
são removível ou essencial.
b) Determine os intervalos onde
c) Determine se os pontos de descontinuidade da função
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que cada parte do exercício está pedindo. Temos três questões relacionadas à continuidade de funções.
- Parte a) Queremos um exemplo de duas funções
e que, quando somadas, resultem em uma função contínua em um ponto específico , mesmo que e sejam descontínuas nesse mesmo ponto. - Parte b) Precisamos determinar onde a função
é contínua. - Parte c) Devemos identificar se os pontos de descontinuidade da função definida por partes
são descontinuidades removíveis ou essenciais.
Para resolver esses problemas, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções, tipos de descontinuidades e como combinar funções contínuas e descontínuas.
Passo 2
Parte a)
Vamos criar duas funções
e
que são descontínuas no ponto
, mas cuja soma
seja contínua em
.
Uma maneira simples de fazer isso é escolher
e
de forma que suas descontinuidades se cancelem.
Por exemplo, vamos definir:
Ambas as funções têm uma descontinuidade em
, já que o valor definido em
é diferente do limite quando
se aproxima de
.
Passo 3
Calculando a soma
:
Então,
é simplesmente a função constante
, que é contínua em todo ponto, inclusive em
.
Passo 4
Parte b)
Queremos determinar onde a função
é contínua.
Primeiro, vamos lembrar que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, que para polinômios reais é todo o conjunto dos números reais
.
Passo 5
A função dada é um produto de dois polinômios:
Como ambos os fatores são polinômios e a multiplicação de polinômios também resulta em um polinômio, a função
é contínua para todo
em
.
Passo 6
Parte c)
Vamos analisar os pontos de descontinuidade da função:
Primeiro, observamos que
é descontínua em
, já que o denominador se torna zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. No entanto, a função
está definida como 0 em
.
Passo 7
Vamos verificar o tipo de descontinuidade em
.
Calculemos o limite de
quando
se aproxima de
:
À medida que
se aproxima de
,
se aproxima de zero, fazendo
tender para
ou
, dependendo da direção. Portanto, o limite não existe.
Como o limite não existe e a função não se aproxima de um valor finito, a descontinuidade em
é do tipo essencial.
Resposta
a) Um exemplo é
onde
é contínua em
apesar de
e
serem descontínuas em
.
b) A função
é contínua para todo
em
.
c) A descontinuidade em
da função definida é essencial.