a) Dê um exemplo onde a soma de duas funções f e g é contínua num determinado ponto a, mas que ambas as funções sejam descontínuas em a.
b) Determine os intervalos onde f(x) = (x-5)^3 * (x^2 + 4)^5 é contínua.
c) Determine se os pontos de descontinuidade da função f(x) = { 1/(x+2), se x != -2; 0, se x = -2 } são removível ou essencial.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que cada parte do exercício está pedindo. Temos três questões relacionadas à continuidade de funções.
  • Parte a) Queremos um exemplo de duas funções e que, quando somadas, resultem em uma função contínua em um ponto específico , mesmo que e sejam descontínuas nesse mesmo ponto.
  • Parte b) Precisamos determinar onde a função é contínua.
  • Parte c) Devemos identificar se os pontos de descontinuidade da função definida por partes são descontinuidades removíveis ou essenciais.
Para resolver esses problemas, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções, tipos de descontinuidades e como combinar funções contínuas e descontínuas.

Passo 2

Parte a)
Vamos criar duas funções e que são descontínuas no ponto , mas cuja soma seja contínua em .
Uma maneira simples de fazer isso é escolher e de forma que suas descontinuidades se cancelem.
Por exemplo, vamos definir:
Ambas as funções têm uma descontinuidade em , já que o valor definido em é diferente do limite quando se aproxima de .

Passo 3

Calculando a soma :
Então, é simplesmente a função constante , que é contínua em todo ponto, inclusive em .

Passo 4

Parte b)
Queremos determinar onde a função é contínua.
Primeiro, vamos lembrar que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, que para polinômios reais é todo o conjunto dos números reais .

Passo 5

A função dada é um produto de dois polinômios:
Como ambos os fatores são polinômios e a multiplicação de polinômios também resulta em um polinômio, a função é contínua para todo em .

Passo 6

Parte c)
Vamos analisar os pontos de descontinuidade da função:
Primeiro, observamos que é descontínua em , já que o denominador se torna zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. No entanto, a função está definida como 0 em .

Passo 7

Vamos verificar o tipo de descontinuidade em .
Calculemos o limite de quando se aproxima de :
À medida que se aproxima de , se aproxima de zero, fazendo tender para ou , dependendo da direção. Portanto, o limite não existe.
Como o limite não existe e a função não se aproxima de um valor finito, a descontinuidade em é do tipo essencial.

Resposta

a) Um exemplo é
onde é contínua em apesar de e serem descontínuas em .
b) A função é contínua para todo em .
c) A descontinuidade em da função definida é essencial.

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