Decomponha os quocientes em frações parciais (z^5 + 2) / (z^2 - 1)

Passo 1

Beleza, a gente precisa decompor a fração em frações parciais. Isso faz parte da álgebra de frações racionais, onde primeiro dividimos os polinômios quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, e depois decompomos a parte restante em frações mais simples. Vamos precisar fazer divisão polinomial e aplicar o método das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir por . A divisão polinomial nos ajuda a reescrever a fração como um polinômio mais uma fração mais simples. Neste caso, dividindo por . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Assim, temos:

Passo 3

Repete o processo: divide por z. Multiplicamos z por e subtraímos:
Então, agora temos:

Passo 4

Agora, vamos decompor a fração . Primeiro, fatoramos o denominador:
Usamos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar A e B, escolhemos valores convenientes para z.
Se z = 1:
Se z = -1:
Então:

Resposta

A decomposição em frações parciais fica:

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