Fazendo
, mostre que uma parametrização para a Lemniscata de Gerono pode ser dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para mostrar que, usando , dá pra parametrizar a Lemniscata de Gerono. Isso tá na matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda curvas no plano usando equações. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma parametrização, saber trabalhar com funções trigonométricas e como elas descrevem curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parametrização. Basicamente, a gente descreve uma curva usando um parâmetro, que nesse caso é o
. Então, queremos expressar as coordenadas
e
em função desse
.
Passo 3
A gente já tem uma relação entre
e
: . Vamos usar isso para expressar
e
em termos de
. Mas pra isso, precisamos de uma expressão para
.
Passo 4
Observando a forma da Lemniscata de Gerono, que é tipo um oito, a gente sabe que ela pode ser descrita usando funções cosseno e seno. Então, vamos supor que
, onde
é uma constante que define o tamanho da curva.
Passo 5
Agora que temos
, vamos substituir na relação original :
Então, a coordenada
fica .
Passo 6
Agora, juntando as duas coordenadas, a parametrização fica:
Isso descreve a Lemniscata de Gerono, porque quando
varia de
a
, o ponto
traça a forma de um oito no plano.
Resposta
Assim, uma parametrização para a Lemniscata de Gerono é para
entre
e
.