Fazendo y = x sen(t), mostre que uma parametrização para a Lemniscata de Gerono pode ser dada por α(t) = (a cos(t), a sen(t) cos(t)), t ∈ [-pi, pi];

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para mostrar que, usando , dá pra parametrizar a Lemniscata de Gerono. Isso tá na matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda curvas no plano usando equações. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma parametrização, saber trabalhar com funções trigonométricas e como elas descrevem curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parametrização. Basicamente, a gente descreve uma curva usando um parâmetro, que nesse caso é o . Então, queremos expressar as coordenadas e em função desse .

Passo 3

A gente já tem uma relação entre e : . Vamos usar isso para expressar e em termos de . Mas pra isso, precisamos de uma expressão para .

Passo 4

Observando a forma da Lemniscata de Gerono, que é tipo um oito, a gente sabe que ela pode ser descrita usando funções cosseno e seno. Então, vamos supor que , onde é uma constante que define o tamanho da curva.

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir na relação original :
Então, a coordenada fica .

Passo 6

Agora, juntando as duas coordenadas, a parametrização fica:
Isso descreve a Lemniscata de Gerono, porque quando varia de a , o ponto traça a forma de um oito no plano.

Resposta

Assim, uma parametrização para a Lemniscata de Gerono é para entre e .

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