Decomponha \vec{v}=(3,-1,-5) como a soma de dois vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} onde \overrightarrow{v_{1}} é paralelo a \vec{w}=(1,6,-4) e \overrightarrow{v_{2}} é ortogonal a \vec{w}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever \vec{v}=(3,-1,-5) como soma de dois vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}, onde \overrightarrow{v_{1}} é paralelo a \vec{w}=(1,6,-4) e \overrightarrow{v_{2}} é ortogonal a \vec{w}.
O conteúdo aqui é a decomposição ortogonal de um vetor em componentes paralela e perpendicular a outro. Para isso usamos a projeção de \vec{v} em \vec{w}:
\overrightarrow{v_{1}} =\mathrm{proj}_{\vec w}(\vec v) =\frac{\vec v\cdot\vec w}{\vec w\cdot\vec w}\,\vec w,
e depois
\overrightarrow{v_{2}}=\vec v-\overrightarrow{v_{1}}.

Passo 2

Calcular os produtos escalares necessários.
\vec v\cdot\vec w =3\cdot1+(-1)\cdot6+(-5)\cdot(-4) =3-6+20 =17,
\vec w\cdot\vec w =1^2+6^2+(-4)^2 =1+36+16 =53.

Passo 3

Usar a fórmula da projeção para obter \overrightarrow{v_{1}}.
\overrightarrow{v_{1}} =\frac{\vec v\cdot\vec w}{\vec w\cdot\vec w}\,\vec w =\frac{17}{53}\,(1,6,-4) =\Bigl(\tfrac{17}{53},\,\tfrac{102}{53},\,-\tfrac{68}{53}\Bigr).

Passo 4

Encontrar \overrightarrow{v_{2}}=\vec v-\overrightarrow{v_{1}}.
Escrevendo \vec v=(3,-1,-5)=(\tfrac{159}{53},-\tfrac{53}{53},-\tfrac{265}{53}), temos
\overrightarrow{v_{2}} =\Bigl(\tfrac{159}{53},-\tfrac{53}{53},-\tfrac{265}{53}\Bigr) -\Bigl(\tfrac{17}{53},\tfrac{102}{53},-\tfrac{68}{53}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{142}{53},\,-\tfrac{155}{53},\,-\tfrac{197}{53}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{v_{1}}=\Bigl(\tfrac{17}{53},\,\tfrac{102}{53},\,-\tfrac{68}{53}\Bigr), \displaystyle \overrightarrow{v_{2}}=\Bigl(\tfrac{142}{53},\,-\tfrac{155}{53},\,-\tfrac{197}{53}\Bigr).

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