Uma elipse tem focos F_{1}(0,0) e F_{2}(8,0) e excentricidade \frac{2}{3}.
Encontre sua equação reduzida e as coordenadas de seus vértices. Faça o esboço.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com focos em F_{1}(0,0) e F_{2}(8,0) e excentricidade e=\tfrac{2}{3}. Precisamos usar as propriedades
– centro como ponto médio dos focos,
e=\tfrac{c}{a} onde 2c é a distância entre focos e a o semi-eixo maior,
b^{2}=a^{2}-c^{2} para obter o semi-eixo menor,
– forma reduzida \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 2

O centro (h,k) é o ponto médio de F_{1} e F_{2}:
(h,k)=\bigl(\tfrac{0+8}{2},\tfrac{0+0}{2}\bigr)=(4,0).
A distância focal é 2c=8, logo
c=4.
Como e=\tfrac{c}{a}=\tfrac{2}{3}, temos
a=\frac{c}{e}=\frac{4}{2/3}=6.

Passo 3

Aplicando b^{2}=a^{2}-c^{2}, obtemos
b^{2}=6^{2}-4^{2}=36-16=20,
portanto
b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 4

Como o eixo maior é horizontal e o centro é (4,0), a equação reduzida fica
\frac{(x-4)^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1.

Passo 5

Os vértices principais (sobre o semi-eixo a) são
(4\pm a,0) = (-2,0)\quad\text{e}\quad(10,0),
e os vértices secundários (sobre o semi-eixo b) são
(4, \pm b) = \bigl(4,2\sqrt{5}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(4,-2\sqrt{5}\bigr).

Passo 6

Esboço da elipse no plano xy:
– Marque o centro em (4,0).
– Assinale os vértices maiores em (-2,0) e (10,0).
– Assinale os vértices menores em \bigl(4,\pm2\sqrt{5}\bigr).
– Trace uma curva suave passando por esses quatro pontos, de formato oval, mais esticada na horizontal.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-4)^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1.
Vértices principais: (-2,0) e (10,0).
Vértices secundários: \bigl(4,2\sqrt{5}\bigr) e \bigl(4,-2\sqrt{5}\bigr).

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