Questão 1. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
\left\{\begin{array}{lr} a x+2 y+z= & -2 \\\\ 3 x-3 y+9 z= & b \\\\ 4 x+y+2 z= & 2 \end{array}\right.
Determine todos os valores de a e de b para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução:
(b) não tem solução;
(c) tem infinites soluçães. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em x,y,z com parâmetros a e b:
\begin{cases} a x + 2y + z = -2,\\\\ 3x - 3y + 9z = b,\\\\ 4x + y + 2z = 2. \end{cases}
O conteúdo é classificação de sistemas lineares pelo determinante da matriz de coeficientes e pelo posto (rank). Vamos calcular o determinante, ver quando ele é não nulo (solução única) e, quando for zero, estudar consistência para achar se dá sistema sem solução ou com infinitas.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1\\\\ 3 & -3 & 9\\\\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Usando desenvolvimento na primeira linha:
\Delta = a\det\begin{pmatrix}-3 & 9\\\ 1 & 2\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}3 & 9\\\ 4 & 2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}-3 & 9\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = -6-9=-15,\quad \det\begin{pmatrix}3 & 9\\\ 4 & 2\end{pmatrix}=6-36=-30,\quad \det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=3+12=15.
Logo
\Delta = a(-15)-2(-30)+15 = -15a +60+15 = 15(5-a).

Passo 3

Se \Delta\neq0, isto é 5-a\neq0 ou a\neq5, o sistema tem posto máximo (3) e, portanto, tem única solução para qualquer b.

Passo 4

Agora considere a=5\). Então \(\Delta=0\) e a matriz \(A\) é singular. O posto de \(A\) é 2 porque, por exemplo, \(\det\begin{pmatrix}5&2\\\ 3&-3\end{pmatrix}=-21\neq0\). Devemos verificar consistência: tomemos as equações (1) e (3) para parametrizar as soluções parciais. Com \(a=5\): \[\begin{cases} 5x+2y+z=-2,\\\\ 4x+y+2z=2. \end{cases}
Da primeira: x=( -2-2y-z)/5\]. Substituindo na segunda e multiplicando por 5: \[-8-8y-4z +5y+10z =10 \;\Longrightarrow\;-3y+6z=18 \;\Longrightarrow\;y=2z-6.\] Então \(x=2-z. Logo as soluções das duas equações são
x=2-z,\quad y=2z-6,\quad z\text{ livre}.

Passo 5

Para que esse parâmetro também satisfaça a segunda equação original,
3x-3y+9z=b,
substituímos x=2-z e y=2z-6:
3(2-z)-3(2z-6)+9z =6-3z -6z +18 +9z =24.
Portanto é preciso b=24.
  • Se b\neq24, a segunda equação entra em contradição e o sistema não tem solução.
  • Se b=24, as três equações são compatíveis e o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

(a) O sistema tem única solução se, e somente se, a\neq5 (qualquer b).
(b) O sistema não tem solução se, e somente se, a=5 e b\neq24.
(c) O sistema tem infinitas soluções se, e somente se, a=5 e b=24. Nesse caso, o conjunto-­solução é
\{(x,y,z)\mid x=2-t,\;y=2t-6,\;z=t,\;t\in\mathbb{R}\}.

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