Decomponha o vetor v=(-1,2,-3) em dois vetores a e b, tais que a / / w e b perp w, com w=(-1,2,-3).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor vec v = (-1,2,-3) como soma de um vetor vec a paralelo a vec w=(-1,2,-3) e um vetor vec b perpendicular a vec w. O conteúdo é decomposição em componentes paralela e ortogonal relativas a um vetor dado.

Passo 2

A componente de vec v paralela a vec w é dada pela projeção de vec v sobre vec w, isto é
vec a = projvec w(vec v) = vec vcdotvec wvec wcdotvec w,vec w
Em seguida, a componente ortogonal é vec b=vec v-vec a.

Passo 3

Calcular os produtos internos. Como vec v=vec w, temos
vec vcdotvec w = (-1)^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14,
vec wcdotvec w = 14

Passo 4

Substituindo em vec a:
vec a = 1414,vec w = 1cdot(-1,2,-3) = (-1,2,-3)

Passo 5

Então
vec b = vec v - vec a = (-1,2,-3) - (-1,2,-3) = (0,0,0),
e de fato vec bcdotvec w = 0, garantindo perpendicularidade.

Resposta

vec a = (-1,2,-3), vec b = (0,0,0)

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