Determine o angulo. Entre a reta r:(x, y, z)=(0,0,1)+1(2,2,4) e o plano pi : alpha: x+2 y+3 z-1=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a reta r de equação paramétrica
(x,y,z) = (0,0,1) + t,(2,2,4)
e o plano pi de equação
x + 2y + 3z - 1 = 0
O conteúdo é geometria analítica no espaço: queremos o ângulo entre uma reta e um plano. Para isso precisamos do vetor diretor da reta e do vetor normal ao plano, além da fórmula que relaciona esses vetores ao ângulo desejado.

Passo 2

O vetor diretor da reta é v = (2,2,4) e o vetor normal ao plano é n = (1,2,3). Seja theta o ângulo entre v e n. O ângulo alpha entre a reta e o plano é complementar a theta, isto é,
alpha = 90^circ - theta
Sabemos também que
costheta = | n cdot v|| n|,| v|
Substituindo em alpha obtemos
alpha = 90^circ - arccos| n cdot v|| n|,| v| ;=; arcsin| n cdot v|| n|,| v|

Passo 3

Vamos calcular n cdot v e as normas de cada vetor:
n cdot v = 1cdot2 + 2cdot2 + 3cdot4 = 18,
| n| = raiz1^2+2^2+3^2 = raiz14,
| v| = raiz2^2+2^2+4^2 = raiz24 = 2raiz6
Logo
| n cdot v|| n|,| v| = 18raiz14,cdot,2raiz6 = 9raiz84 = 92raiz21

Passo 4

Substituindo na expressão de alpha, temos
alpha = arcsin92raiz21 approx 78,9^circ

Resposta

alpha = arcsin92raiz21approx 78,9^circ

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