Decomponha o vetor w=-i+10 j-2 k como soma de w1 e w2, sendo omega1 paralelo ao vetor v=j-k e w2 ortogonal a v.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor
vec w = -vec i + 10vec j - 2vec k
como soma de vec w1 paralelo a
vec v = vec j - vec k
e vec w2 ortogonal a vec v.
O conteúdo usado é projeção ortogonal de vetores.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de cada vetor:
vec w = (-1,,10,,-2)
e
vec v = (0,,1,,-1).
Para projetar, precisamos de vec wcdotvec v e vec vcdotvec v.

Passo 3

Calculamos os produtos internos:
vec wcdotvec v = (-1)cdot0 + 10cdot1 + (-2)cdot(-1) = 12,
vec vcdotvec v = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2.

Passo 4

A projeção de vec w sobre vec v é
vec w1 = vec wcdotvec vvec vcdotvec v,vec v = 122,vec v = 6,(0,,1,,-1) = (0,,6,,-6)

Passo 5

O componente ortogonal vem de
vec w2 = vec w - vec w1 = (-1,,10,,-2) - (0,,6,,-6) = (-1,,4,,4)

Resposta

vec w1 = 0,vec i + 6,vec j - 6,vec k,
vec w2 = -vec i + 4,vec j + 4,vec k

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