Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(a)
dada por
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. O conteúdo usado será a definição de linearidade: uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, valem
Passo 2
Verificamos a aditividade. Sejam
Então
e aplicando
temos
Por outro lado,
logo
que coincide com
. Portanto
.
Passo 3
Verificamos a homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Por outro lado,
que coincide com
. Logo
.
Passo 4
Como
satisfaz as duas propriedades essenciais—aditividade e homogeneidade—concluímos que
é de fato uma transformação linear.