Verifique se as aplicações dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso, justifique sua afirmação:
(a) T: R^4 R^3 dada por T(x, y, z, t)=(x+y, 0, z+t).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^4toR^3, T(x,y,z,t) = (,x+y,;0,;z+t,)
é uma transformação linear. O conteúdo usado será a definição de linearidade: uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^4 e escalar lambdainR, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambda u)=lambda,T(u)

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam
u=(x1,y1,z1,t1), v=(x2,y2,z2,t2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2),
e aplicando T temos
T(u+v)=l((x1+x2)+(y1+y2),;0,;(z1+z2)+(t1+t2)r)
Por outro lado,
T(u)=(x1+y1,0,z1+t1), T(v)=(x2+y2,0,z2+t2),
logo
T(u)+T(v) =(,x1+y1 + x2+y2,;0+0,;z1+t1+z2+t2,),
que coincide com T(u+v). Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja lambdainR e u=(x,y,z,t). Então
lambda u=(lambda x,;lambda y,;lambda z,;lambda t)
e
T(lambda u) =l(lambda x+lambda y,;0,;lambda z+lambda tr) =(lambda(x+y),;0,;lambda(z+t))
Por outro lado,
lambda,T(u) =lambda,(x+y,,0,,z+t) =(lambda(x+y),;0,;lambda(z+t)),
que coincide com T(lambda u). Logo T(lambda u)=lambda,T(u).

Passo 4

Como T satisfaz as duas propriedades essenciais—aditividade e homogeneidade—concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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