Decomponha w=(-1,-2,1) como soma dos vetores w1 e w2, com w1 paralelo ao vetor v=(0,4,3) e w2 ortogonal a v.

Passo 1

O enunciado pede para escrever w=(-1,-2,1) como
w = w1 + w2,
onde w1 é paralelo a v=(0,4,3) e w2 é ortogonal a v.
O conteúdo envolvido é a projeção de um vetor em outro e a decomposição vetorial em componentes paralela e ortogonal.

Passo 2

Para obter a componente paralela usamos a fórmula da projeção de w sobre v:
w1 = projv(w) = wcdotv|v|^2,v
Calculemos o produto escalar e o quadrado da norma de v:
wcdotv = (-1)cdot 0 + (-2)cdot 4 + 1cdot 3 = -8 + 3 = -5,
|v|^2 = 0^2 + 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

Passo 3

Substituindo em w1:
w1 = -525,(0,4,3) = -15,(0,4,3) = l(0,,-tfrac45,,-tfrac35r)

Passo 4

A componente ortogonal é simplesmente
w2 = w - w1 = (-1,-2,1) - l(0,-tfrac45,-tfrac35r) = l(-1,,-2 + tfrac45,,1 + tfrac35r) = l(-1,,-tfrac65,,tfrac85r)

Passo 5

Podemos checar que w2 é ortogonal a v conferindo
w2cdotv = (-1)cdot 0 + l(-tfrac65r)cdot 4 + tfrac85cdot 3 = -tfrac245 + tfrac245 = 0,
confirmando a ortogonalidade.

Resposta

w1 = l(0,-tfrac45,-tfrac35r), w2 = l(-1,-tfrac65,tfrac85r)

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