Mostrar que o subconjunto de vetores:
(0,2,2),(0,4,1)
é uma base do seguinte sub-espaço vetorial do R^3:
U=(x, y, z) in R^3 mid x=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
(0,2,2),,(0,4,1)
é uma base do subespaço
U = (x,y,z)in R^3 mid x=0
Para ser base de U, o conjunto deve satisfazer dois requisitos:
  1. Pertencer a U.
  2. Ser linearmente independente.
  3. Gerar todo U (ou seja, o seu espaço gerado é igual a U).

Passo 2

Verificamos que ambos os vetores estão em U porque em cada um deles a primeira coordenada é zero. Ou seja,
(0,2,2)in U e (0,4,1)in U

Passo 3

Mostramos que são linearmente independentes. Suponha que existam coeficientes
Escrevendo componente a componente:
Da terceira equação . Substituindo na segunda,
e daí . Como só a solução trivial existe, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Mostramos que seu espaço gerado é todo
Isso gera o sistema
Da segunda equação achamos , segue que .

Resposta

O conjunto (0,2,2),(0,4,1) é base de U.

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