Mostrar que as matrizes:
(ll 1 & 1 0 & 0 )+(ll 2 & 1 0 & 0 )+(ll 0 & 1 1 & 0 ) e (ll 0 & 0 0 & 2 )
formam uma base de M2 ®.

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M2(R):
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 0, B = 2 & 1 [6pt] 0 & 0, C = 0 & 1 [6pt] 1 & 0, D = 0 & 0 [6pt] 0 & 2
Queremos mostrar que A,B,C,D forma uma base de M2(R). Sabemos que dimM2(R)=4, então basta provar que essas quatro matrizes são linearmente independentes (ou que geram todo o espaço).

Passo 2

Considere a combinação linear nula
lambda1A + lambda2B + lambda3C + lambda4D = 0 & 0 [4pt] 0 & 0
Escrevendo isso em coordenadas, obtemos
lambda11 & 1 [4pt] 0 & 0 + lambda22 & 1 [4pt] 0 & 0 + lambda30 & 1 [4pt] 1 & 0 + lambda40 & 0 [4pt] 0 & 2 = 0 & 0 [4pt] 0 & 0

Passo 3

Comparando entrada a entrada, surge o sistema
(1); lambda1 + 2lambda2 = 0, (2); lambda1 + lambda2 + lambda3 = 0, (3); lambda3 = 0, (4); 2lambda4 = 0
Da equação (3) vem lambda3=0 e da (4) vem lambda4=0. Substituindo em (2) obtemos lambda1+lambda2=0 e em (1) temos lambda1+2lambda2=0. Subtraindo, fica lambda2=0 e daí lambda1=0.

Passo 4

Concluímos que a única solução do sistema é
lambda1=lambda2=lambda3=lambda4=0, ou seja, as matrizes A,B,C,D são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos quatro matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base de M2(R).

Resposta

As matrizes
1&10&0,
2&10&0,
0&11&0 e
0&00&2
são linearmente independentes em M2(R) e, por terem quantidade igual à dimensão do espaço, formam uma base.

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