A = 1 & 1 [6pt] 0 & 0, B = 2 & 1 [6pt] 0 & 0, C = 0 & 1 [6pt] 1 & 0, D = 0 & 0 [6pt] 0 & 2
Queremos mostrar que A,B,C,D forma uma base de M2(R). Sabemos que dimM2(R)=4, então basta provar que essas quatro matrizes são linearmente independentes (ou que geram todo o espaço).
Da equação (3) vem lambda3=0 e da (4) vem lambda4=0. Substituindo em (2) obtemos lambda1+lambda2=0 e em (1) temos lambda1+2lambda2=0. Subtraindo, fica lambda2=0 e daí lambda1=0.
Passo 4
Concluímos que a única solução do sistema é lambda1=lambda2=lambda3=lambda4=0, ou seja, as matrizes A,B,C,D são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos quatro matrizes linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, elas formam uma base de M2(R).
Resposta
As matrizes 1&10&0, 2&10&0, 0&11&0 e 0&00&2
são linearmente independentes em M2(R) e, por terem quantidade igual à dimensão do espaço, formam uma base.