Resolver o sistema S_{4} com arredondamento em duas casas decimais, na matriz aumentada.

Passo 1

O enunciado pede que se resolva o sistema S_{4} usando a matriz aumentada e fazendo arredondamento em duas casas decimais. As informações fornecidas no enunciado que eu tenho são somente:
\text{Pedido: resolver }S_{4}\text{ com arredondamento em 2 casas decimais na matriz aumentada.}
Não foi fornecida a forma explícita do sistema S_{4} (ou sua matriz aumentada). Portanto não há coeficientes nem termos independentes para eu operar diretamente.

Passo 2

Por causa da falta do sistema (os coeficientes e termos independentes), não é possível executar as operações elementares e chegar a uma solução para S_{4}. Para resolver um sistema por eliminação na matriz aumentada eu preciso dos valores numéricos que compõem essa matriz; sem eles não dá para calcular nem mesmo a primeira operação. Agora vou te ensinar passo a passo, de forma didática, exatamente o procedimento que você deve aplicar assim que me fornecer (ou você tiver) a matriz aumentada de S_{4}. Vou incluir também um exemplo numérico completo mostrando o arredondamento para duas casas decimais aplicado na matriz aumentada a cada passo, para que você aprenda como fazer na prova.

Passo 3

O que é a matriz aumentada e como montá-la (lição rápida e direta).
  • Dado um sistema linear qualquer escrito como
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\[4pt] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\[4pt] \vdots\\[4pt] a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m, \end{cases}
a matriz aumentada é a matriz que coloca a matriz de coeficientes e a coluna dos termos independentes juntas:
\left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\[4pt] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\[4pt] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right].
Na prova, a tarefa “na matriz aumentada” significa que você realiza operações linha a linha nessa matriz até obter uma forma que permita a leitura das incógnitas (forma triangular superior para retro-substituição ou forma reduzida por linhas).]

Passo 4

Operações elementares permitidas (e como usá-las com arredondamento):
  • Trocar duas linhas: L_i \leftrightarrow L_j.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: L_i \leftarrow \lambda L_i.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra: L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j.
Regra de arredondamento pedida: “arredondamento em duas casas decimais, na matriz aumentada” — isto normalmente significa que, após cada operação que altere entradas da matriz, você arredonda cada entrada resultante para duas casas decimais e grava esses valores arredondados na própria matriz (ou seja, a matriz usada nas operações seguintes contém já as entradas arredondadas). Por isso, é importante:
  1. Executar a operação exatamente (se puder) para encontrar o valor exato.
  2. Arredondar cada entrada da linha ou da matriz que foi modificada para duas casas decimais (usar regra usual de arredondamento).
  3. Usar os valores já arredondados nas operações subsequentes — isso simula o que o enunciado pede (arredondamento “na matriz aumentada”).
Dica prática para a prova: se o enunciado quiser claramente que arredonde a cada passo, faça isso; se não tiver certeza, siga a instrução literal que você recebeu. Arredondar a cada passo simplifica contas manuais, mas introduz erro de arredondamento — esteja preparado para isso.

Passo 5

Passo a passo do método aplicado (explicado com calma):
  1. Escreva a matriz aumentada inicial.
  2. Escolha um pivô na primeira coluna (normalmente a_{11}; se for zero, troque por uma linha abaixo que tenha coeficiente não nulo — isso se chama pivotamento parcial).
  3. Use o pivô para zerar abaixo dele usando a operação L_j \leftarrow L_j - (\frac{a_{j1}}{a_{11}})L_1 para cada linha j>1. Após cada linha modificada, arredonde as entradas dessa linha para duas casas decimais.
  4. Repita o procedimento nas submatrizes (segunda linha/segunda coluna, etc.) até obter uma matriz triangular superior.
  5. Opcional: escale cada linha para que o pivô valha 1,00 (divida a linha pelo pivô) — se fizer isso, arredonde os resultados nessa linha para duas casas decimais.
  6. Faça retro-substituição (ou eliminação para cima usando pivôs já escalados) usando sempre os valores já arredondados que estão na matriz.
  7. Ao final, anote a solução aproximada com duas casas decimais (ou mais, se o enunciado pedir).

Passo 6

Exemplo numérico completo (ilustrativo) mostrando o arredondamento na matriz aumentada a cada passo.
Vou exemplificar com um sistema de 3\times 3\) (ATENÇÃO: este é um sistema exemplo para ensino — não é o \(S_{4}\) porque esse não foi fornecido): \[\begin{cases} x + 2y + z = 9\\[4pt] 2x + 3y + 4z = 20\\[4pt] 3x + y + 2z = 13 \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 20\\[4pt] 3 & 1 & 2 & 13 \end{array}\right]
Primeira etapa: usar a_{11}=1\] como pivô e zerar abaixo. - \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1:
L_2 = [2-2\cdot1,\; 3-2\cdot2,\; 4-2\cdot1,\; 20-2\cdot9] = [0,\;-1,\;2,\;2].
Arredondando (duas casas) não muda porque são inteiros.
  • L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1:
L_3 = [3-3\cdot1,\; 1-3\cdot2,\; 2-3\cdot1,\; 13-3\cdot9] = [0,\;-5,\;-1,\;-14].
Também inteiros.
Matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -5 & -1 & -14 \end{array}\right]
Segunda etapa: usar o pivô da segunda linha a_{22}=-1 para zerar abaixo.
  • Para zerar o elemento da linha 3, coluna 2: fator =\dfrac{-5}{-1}=5.
  • L_3 \leftarrow L_3 - 5L_2:
L_3 = [0,\; -5 - 5(-1),\; -1 - 5(2),\; -14 - 5(2)] = [0,\;0,\; -11,\; -24].
Matriz triangular superior (antes de escalonar pivôs):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -11 & -24 \end{array}\right]
Terceira etapa: escalonar a terceira linha para obter pivô 1,00 (dividir por -11) e arredondar para duas casas decimais:
L_3 \leftarrow \frac{1}{-11}L_3 = [0,\;0,\;1,\; \frac{-24}{-11}]=[0,\;0,\;1,\; \tfrac{24}{11}].
Calculando e arredondando \tfrac{24}{11}\approx 2{,}181818\ldots, com duas casas fica 2{,}18. Assim gravamos na matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 9\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2{,}18 \end{array}\right]
(repare que agora usamos o valor já arredondado 2{,}18 nas etapas seguintes).
Quarta etapa: eliminar acima usando o pivô escalonado (com os valores já arredondados).
  • L_2 \leftarrow L_2 - 2L_3:
L_2 = [0,\; -1,\; 2 - 2\cdot1,\; 2 - 2\cdot2{,}18] = [0,\; -1,\;0,\; 2 - 4{,}36] = [0,\; -1,\;0,\; -2{,}36].
Arredondado já em duas casas: -2{,}36.
  • L_1 \leftarrow L_1 - 1\cdot L_3:
L_1 = [1,\; 2,\; 1 - 1,\; 9 - 2{,}18] = [1,\;2,\;0,\; 6{,}82].
Arredondado: 6{,}82.
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 6{,}82\\[4pt] 0 & -1 & 0 & -2{,}36\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2{,}18 \end{array}\right]
Quinta etapa: escalonar segunda linha (dividir por -1) e eliminar acima:
  • L_2 \leftarrow -1\cdot L_2 = [0,\;1,\;0,\; 2{,}36].
  • L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2 = [1,\;0,\;0,\; 6{,}82 - 2\cdot2{,}36] = [1,\;0,\;0,\; 2{,}10].
    Arredondamentos mantidos com duas casas.
Matriz final (forma diagonal, solução direta):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2{,}10\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2{,}36\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2{,}18 \end{array}\right]
Solução (resultado do exemplo com arredondamento aplicado na matriz a cada passo):
x = 2{,}10,\quad y = 2{,}36,\quad z = 2{,}18.
Observação importante: se tivéssemos mantido todos os cálculos exatos até o final e só arredondado a solução final, obteríamos
x=\tfrac{23}{11}\approx 2{,}09,\; y=\tfrac{26}{11}\approx 2{,}36,\; z=\tfrac{24}{11}\approx 2{,}18.
Note que y e z ficaram iguais nas duas abordagens, mas x difere em uma centésima ( 2{,}09 contra 2{,}10) devido ao arredondamento intermediário. Por isso, quando o enunciado pede explicitamente arredondar na matriz, siga esse procedimento: arredonde após cada operação e use os valores arredondados nas etapas seguintes.]

Passo 7

Como aplicar isso ao seu S_{4}:
  • Se você me mandar a matriz aumentada de S_{4} (ou os coeficientes do sistema), eu aplico exatamente o procedimento acima: eliminação com pivotamento parcial se necessário, arredondando cada entrada modificada para duas casas decimais na própria matriz e mostrando todos os passos detalhadamente até a solução. Assim você terá tanto a resolução quanto a técnica clara para fazer na prova.

Resposta

Não é possível resolver: o sistema S_{4} não foi fornecido.

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