Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{2 x+1}{(x-1) \cdot(x+1)}

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional
\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)}
em soma de frações parciais. Como o denominador fatorou em dois fatores lineares distintos, vamos buscar uma escrita
\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} \;=\;\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.

Passo 2

Multiplicamos essa igualdade por (x-1)(x+1) para eliminar denominadores, obtendo
2x+1 = A(x+1) + B(x-1).

Passo 3

Expandimos o lado direito:
A(x+1)+B(x-1) = A x + A + B x - B = (A+B)\,x + (A - B).
Logo temos a identidade polinomial
2x+1 = (A+B)\,x + (A - B).

Passo 4

Comparando coeficientes de x\) e termo constante, obtemos o sistema \[\begin{cases} A + B = 2,\\\ A - B = 1. \end{cases}
Somando as duas equações: 2A = 3\], logo \(A = \tfrac{3}{2}. Substituindo em A+B=2 B = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição inicial, concluímos
\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{\tfrac{3}{2}}{x-1} + \frac{\tfrac{1}{2}}{x+1}.

Resposta

\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{3/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1}.

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