Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{3 x^{2}-21 x+31}{(x-2) \cdot(x-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede decompor em frações parciais a expressão
\frac{3x^{2}-21x+31}{(x-2)\,(x-3)^{2}}
Conteúdo: frações parciais com fator linear distinto (x-2) e fator linear repetido (x-3)^{2}.

Passo 2

Como o denominador é (x-2)\,(x-3)^{2}, usamos o ansatz
\frac{3x^{2}-21x+31}{(x-2)(x-3)^{2}} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^{2}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x-3)^{2}, obtendo
3x^{2}-21x+31 = A\,(x-3)^{2} + B\,(x-2)(x-3) + C\,(x-2).

Passo 4

Para achar A, fazemos x=2. Então
3\cdot2^{2}-21\cdot2+31 = A\,(2-3)^{2} \;\Longrightarrow\;12-42+31 = A\cdot1 \;\Longrightarrow\;A=1.

Passo 5

Para achar C, fazemos x=3. Então
3\cdot3^{2}-21\cdot3+31 = C\,(3-2) \;\Longrightarrow\;27-63+31 = C\cdot1 \;\Longrightarrow\;C=-5.

Passo 6

Para achar B, escolhemos x=0. Substituindo em
3x^{2}-21x+31 = A(x-3)^{2} + B(x-2)(x-3) + C(x-2),
com A=1 e C=-5, fica
31 = 1\cdot9 + B\cdot[(-2)\cdot(-3)] + (-5)\cdot(-2) \;\Longrightarrow\;31 = 9 + 6B +10 \;\Longrightarrow\;6B =12 \;\Longrightarrow\;B=2.

Passo 7

Substituindo A, B e C no ansatz, a decomposição final é
\frac{3x^{2}-21x+31}{(x-2)(x-3)^{2}} =\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x-3}-\frac{5}{(x-3)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{2}{x-3}-\frac{5}{(x-3)^{2}}

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