Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{6 x^{2}+20 x+18}{(x+1)^{2} \cdot(x+3)}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a expressão
\frac{6x^{2}+20x+18}{(x+1)^{2}(x+3)}.
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais para fatores lineares repetidos. Vamos usar o modelo
\frac{6x^{2}+20x+18}{(x+1)^{2}(x+3)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x+3},
e determinar A, B e C.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x+1)^{2}(x+3) para obter uma igualdade de polinômios no numerador:
6x^{2}+20x+18 = A\,(x+1)(x+3) + B\,(x+3) + C\,(x+1)^{2}.

Passo 3

Expandimos e coletamos termos em potências de x:
A\,(x+1)(x+3)=A\,(x^{2}+4x+3), \quad B\,(x+3)=Bx+3B, \quad C\,(x+1)^{2}=C\,(x^{2}+2x+1).
Somando tudo,
6x^{2}+20x+18 =(A+C)\,x^{2}+(4A+2C+B)\,x+(3A+C+3B).

Passo 4

Igualamos coeficientes dos termos de mesma ordem em x\): \[\begin{cases} A + C = 6,\\\\ 4A + 2C + B = 20,\\\\ 3A + C + 3B = 18. \end{cases}
Da primeira equação vem C=6-A\]. Substituindo na segunda: \[4A + 2(6-A) + B = 20 \;\Longrightarrow\; 2A + B = 8 \;\Longrightarrow\; B = 8 - 2A.\] Na terceira: \[3A + (6 - A) + 3(8 - 2A) = 18 \;\Longrightarrow\; -4A + 30 = 18 \;\Longrightarrow\; A = 3.\] Então \(B = 8 - 2\cdot3 = 2 e C = 6 - 3 = 3.

Resposta

\frac{6x^{2}+20x+18}{(x+1)^{2}(x+3)} =\frac{3}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^{2}}+\frac{3}{x+3}.

Exercícios relacionados