Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{6 x^{2}+22 x+18}{(x+1) \cdot(x+2) \cdot(x+3)}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional \displaystyle \frac{6x^{2}+22x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)}.
O conteúdo é frações parciais com fatores lineares distintos, e precisaremos escrever essa razão como soma de termos simples e determinar constantes.

Passo 2

Como os fatores do denominador são lineares e distintos, supomos
\frac{6x^{2}+22x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}.

Passo 3

Multiplicamos os dois lados por (x+1)(x+2)(x+3) para obter a identidade de polinômios
6x^{2}+22x+18 = A\,(x+2)(x+3) + B\,(x+1)(x+3) + C\,(x+1)(x+2).

Passo 4

Para achar A, B e C, escolhemos valores que zero um dos fatores:
Para x=-1:
6(-1)^{2}+22(-1)+18 =2 = A\cdot\bigl((-1+2)(-1+3)\bigr) =2A \implies A=1.
Para x=-2:
6(-2)^{2}+22(-2)+18 =-2 = B\cdot\bigl((-2+1)(-2+3)\bigr) =-B \implies B=2.
Para x=-3:
6(-3)^{2}+22(-3)+18 =6 = C\cdot\bigl((-3+1)(-3+2)\bigr) =2C \implies C=3.

Resposta

\frac{6x^{2}+22x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3}.

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