Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{4 x^{2}-22 x+7}{(2 x+3) \cdot(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
\frac{4x^{2}-22x+7}{(2x+3)\,(x-2)^{2}}.
O conteúdo aqui é a técnica de frações parciais para denominadores que são um produto de um fator linear simples (2x+3) e um fator linear repetido (x-2)^{2}.

Passo 2

Como o grau do numerador é menor que o do denominador, propomos a decomposição
\frac{4x^{2}-22x+7}{(2x+3)\,(x-2)^{2}} = \frac{A}{2x+3}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (2x+3)(x-2)^{2}, obtemos
4x^{2}-22x+7 = A\,(x-2)^{2} + B\,(2x+3)(x-2) + C\,(2x+3).

Passo 3

Expandimos cada termo do lado direito e agrupamos em potências de x:
A parte com A:
A\,(x-2)^{2} = A\,(x^{2}-4x+4)= A x^{2} -4A x +4A.
A parte com B:
B\,(2x+3)(x-2) = B\,(2x^{2}-x-6)= 2B x^{2} - B x -6B.
A parte com C:
C\,(2x+3)= 2C x +3C.
Somando tudo:
4x^{2}-22x+7 = (A+2B)\,x^{2} + (-4A -B +2C)\,x + (4A -6B +3C).

Passo 4

Igualamos coeficientes de cada potência de x\) e resolvemos o sistema: \[\begin{cases} A + 2B = 4,\\\\ -4A - B + 2C = -22,\\\\ 4A -6B +3C = 7. \end{cases}
Da primeira equação vem A = 4 - 2B\]. Substituindo nas outras duas: \[\begin{cases} 7B +2C = -6,\\\\ -14B +3C = -9. \end{cases}\] Multiplicando a primeira por \(3 e a segunda por 2 e subtraindo, obtemos 49B=0, logo
B = 0.
Então 2C = -6
C = -3,
e A = 4 -2\cdot 0 = 4.

Passo 5

Substituindo A, B e C na proposta inicial, a decomposição final é
\frac{4x^{2}-22x+7}{(2x+3)\,(x-2)^{2}} = \frac{4}{2x+3} + \frac{0}{x-2} - \frac{3}{(x-2)^{2}} = \frac{4}{2x+3} - \frac{3}{(x-2)^{2}}.

Resposta

\frac{4x^{2}-22x+7}{(2x+3)\,(x-2)^{2}} = \frac{4}{2x+3} - \frac{3}{(x-2)^{2}}.

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