Decompor o vetor \vec{v}=(-2,-6,-1) em dois vetores \overleftarrow{a} e \vec{b} tais que \vec{a} / / r e \vec{b} \perp r sabendo que r:\left\{\begin{array}{l}x=z-2 \\\ y=z+1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor \vec{v}=(-2,-6,-1) em dois vetores \vec{a} e \vec{b} tais que:
  • \vec{a} é paralelo à reta r,
  • \vec{b} é perpendicular à reta r.
Informações dadas:
  • O vetor a decompor é \vec{v}=(-2,-6,-1).
  • A reta r é descrita por
\begin{cases} x = z - 2,\\[4pt] y = z + 1. \end{cases}
Estas são todas as informações que o enunciado fornece.]

Passo 2

Ideia geral da decomposição (explicação didática e conceito).
  • Qualquer vetor \vec{v} no espaço pode ser escrito como soma de duas partes: uma paralela a uma direção escolhida e outra ortogonal a essa mesma direção. Ou seja,
\vec{v}=\vec{a}+\vec{b},
onde \vec{a} é paralelo a um vetor diretor \vec{d} da reta r e \vec{b} é ortogonal a \vec{d}.
  • Se \vec{a} é paralelo a \vec{d}, então existe um escalar \lambda tal que
\vec{a}=\lambda\vec{d}.
  • A condição de perpendicularidade entre \vec{b} e \vec{d} é
\vec{b}\cdot\vec{d}=0,
onde \cdot é o produto escalar (dot product). Lembra: o produto escalar entre \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é
\vec{u}\cdot\vec{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.

Passo 3

Encontrar um vetor diretor \vec{d} da reta r a partir das equações dadas.
  • Podemos usar z como parâmetro t. Tomando t=z, obtemos
x=t-2,\qquad y=t+1,\qquad z=t.
  • Escrevendo como ponto de partida mais direção:
(x,y,z)=(-2,1,0)+t(1,1,1).
  • Logo um vetor diretor para r é
\vec{d}=(1,1,1).

Passo 4

Determinar a projeção de \vec{v} sobre \vec{d} (ou seja \vec{a}).
  • A constante \lambda tal que \vec{a}=\lambda\vec{d} é encontrada impondo que o resto \vec{b}=\vec{v}-\vec{a} seja ortogonal a \vec{d}:
(\vec{v}-\lambda\vec{d})\cdot\vec{d}=0.
  • Desenvolvendo:
\vec{v}\cdot\vec{d}-\lambda(\vec{d}\cdot\vec{d})=0
portanto
\lambda=\frac{\vec{v}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}.
  • Esta fórmula é a projeção escalar de \vec{v} na direção \vec{d}. Em seguida \vec{a}=\lambda\vec{d}.

Passo 5

Calcular os produtos escalares necessários com números explícitos.
  • Primeiro calcule \vec{v}\cdot\vec{d}. Com \vec{v}=(-2,-6,-1) e \vec{d}=(1,1,1),
\vec{v}\cdot\vec{d}=(-2)\cdot1+(-6)\cdot1+(-1)\cdot1=-2-6-1=-9.
  • Agora calcule \vec{d}\cdot\vec{d}:
\vec{d}\cdot\vec{d}=1^2+1^2+1^2=3.

Passo 6

Calcular \lambda e \vec{a}.
  • Usando a fórmula,
\lambda=\frac{\vec{v}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}=\frac{-9}{3}=-3.
  • Portanto
\vec{a}=\lambda\vec{d}=-3(1,1,1)=(-3,-3,-3).

Passo 7

Calcular \vec{b} como diferença entre \vec{v} e \vec{a}.
  • Temos
\vec{b}=\vec{v}-\vec{a}=(-2,-6,-1)-(-3,-3,-3).
  • Fazendo as subtrações coordenada a coordenada:
\vec{b}=(-2+3,\;-6+3,\;-1+3)=(1,-3,2).

Passo 8

Verificações rápidas (para ter confiança no resultado).
  • Soma retorna o original:
\vec{a}+\vec{b}=(-3,-3,-3)+(1,-3,2)=(-2,-6,-1)=\vec{v}.
  • Perpendicularidade de \vec{b} com \vec{d}:
\vec{b}\cdot\vec{d}=1\cdot1+(-3)\cdot1+2\cdot1=1-3+2=0,
logo \vec{b}\perp\vec{d} (e portanto \vec{b}\perp r).
  • Paralelismo de \vec{a} com \vec{d} é óbvio porque \vec{a} é múltiplo escalar de \vec{d}.

Resposta

\vec{a}=(-3,-3,-3)
\vec{b}=(1,-3,2)

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