Decompor o vetor
em dois vetores
e
tais que
sabendo que
Passo 1
O enunciado pede para decompor o vetor
em dois vetores
e
tais que:
-
é paralelo à reta , -
é perpendicular à reta .
Informações dadas:
- O vetor a decompor é
. - A reta
é descrita por
Estas são todas as informações que o enunciado fornece.]
Passo 2
Ideia geral da decomposição (explicação didática e conceito).
- Qualquer vetor
no espaço pode ser escrito como soma de duas partes: uma paralela a uma direção escolhida e outra ortogonal a essa mesma direção. Ou seja,
onde
é paralelo a um vetor diretor
da reta
e
é ortogonal a
.
- Se
é paralelo a , então existe um escalar tal que
- A condição de perpendicularidade entre
e é
onde
é o produto escalar (dot product). Lembra: o produto escalar entre
e
é
Passo 3
Encontrar um vetor diretor
da reta
a partir das equações dadas.
- Podemos usar
como parâmetro . Tomando , obtemos
- Escrevendo como ponto de partida mais direção:
- Logo um vetor diretor para
é
Passo 4
Determinar a projeção de
sobre
(ou seja
).
- A constante
tal que é encontrada impondo que o resto seja ortogonal a :
- Desenvolvendo:
portanto
- Esta fórmula é a projeção escalar de
na direção . Em seguida .
Passo 5
Calcular os produtos escalares necessários com números explícitos.
- Primeiro calcule
. Com e ,
- Agora calcule
:
Passo 6
Calcular
e
.
- Usando a fórmula,
- Portanto
Passo 7
Calcular
como diferença entre
e
.
- Temos
- Fazendo as subtrações coordenada a coordenada:
Passo 8
Verificações rápidas (para ter confiança no resultado).
- Soma retorna o original:
- Perpendicularidade de
com :
logo
(e portanto
).
- Paralelismo de
com é óbvio porque é múltiplo escalar de .