Determine o ângulo entre as retas: r:\left\{\begin{array}{l}x=3+t \\\ y=-2-t \text { e } s: x+2=y-3=\frac{z+5}{\sqrt{2}} \\\ z=\sqrt{2} t\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece duas retas. Peguei a informação de que a reta r está na forma paramétrica
x=3+t,\quad y=-2-t,\quad z=\sqrt{2}\,t,
com parâmetro t.
A reta s está na forma simétrica
x+2=y-3=\frac{z+5}{\sqrt{2}}.
O que o enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas r e s.
Passo 2
Transformar a forma simétrica de s em forma paramétrica para extrair o vetor diretor de s.
Seja u o parâmetro comum de s. Então
x+2=u,\qquad y-3=u,\qquad \frac{z+5}{\sqrt{2}}=u.
Resolvendo para x,y,z:
x=-2+u,\quad y=3+u,\quad z=-5+\sqrt{2}\,u.
Assim, um vetor diretor de s é
v_s=\bigl(1,\,1,\,\sqrt{2}\bigr),
pois cada coordenada cresce com coeficiente (1,1,\sqrt{2}) quando u varia.
Passo 3
Extrair o vetor diretor da reta r a partir da forma paramétrica dada.
Em r temos
x=3+t,\quad y=-2-t,\quad z=\sqrt{2}\,t.
O vetor diretor de r é o coeficiente de t:
v_r=\bigl(1,\,-1,\,\sqrt{2}\bigr).
Passo 4
Recordar a fórmula que relaciona produto escalar e o ângulo entre vetores — aula rápida e concreta.
Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^3, o produto escalar é
No caso de retas, o ângulo entre as retas é o ângulo agudo entre seus vetores diretores (ou o complemento, mas tomamos o menor ângulo, ou seja 0\le\theta\le\pi/2 quando \cos\theta\ge0).