Determine o ângulo entre as retas:
r:\left\{\begin{array}{l}x=3+t \\\ y=-2-t \text { e } s: x+2=y-3=\frac{z+5}{\sqrt{2}} \\\ z=\sqrt{2} t\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece duas retas. Peguei a informação de que a reta r está na forma paramétrica
x=3+t,\quad y=-2-t,\quad z=\sqrt{2}\,t,
com parâmetro t.
  • A reta s está na forma simétrica
x+2=y-3=\frac{z+5}{\sqrt{2}}.
  • O que o enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas r e s.

Passo 2

Transformar a forma simétrica de s em forma paramétrica para extrair o vetor diretor de s.
  • Seja u o parâmetro comum de s. Então
x+2=u,\qquad y-3=u,\qquad \frac{z+5}{\sqrt{2}}=u.
  • Resolvendo para x,y,z:
x=-2+u,\quad y=3+u,\quad z=-5+\sqrt{2}\,u.
  • Assim, um vetor diretor de s é
v_s=\bigl(1,\,1,\,\sqrt{2}\bigr),
pois cada coordenada cresce com coeficiente (1,1,\sqrt{2}) quando u varia.

Passo 3

Extrair o vetor diretor da reta r a partir da forma paramétrica dada.
  • Em r temos
x=3+t,\quad y=-2-t,\quad z=\sqrt{2}\,t.
  • O vetor diretor de r é o coeficiente de t:
v_r=\bigl(1,\,-1,\,\sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Recordar a fórmula que relaciona produto escalar e o ângulo entre vetores — aula rápida e concreta.
  • Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^3, o produto escalar é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • A relação com o ângulo \theta entre eles é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\;|\mathbf{b}|\cos\theta,
onde |\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} é a norma (comprimento) de \mathbf{a}.
  • Logo
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\;|\mathbf{b}|}.
  • No caso de retas, o ângulo entre as retas é o ângulo agudo entre seus vetores diretores (ou o complemento, mas tomamos o menor ângulo, ou seja 0\le\theta\le\pi/2 quando \cos\theta\ge0).

Passo 5

Calcular o produto escalar v_r\cdot v_s.
  • Usando v_r=(1,-1,\sqrt{2}) e v_s=(1,1,\sqrt{2}):
v_r\cdot v_s = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}.
  • Calculando termo a termo:
v_r\cdot v_s = 1 - 1 + 2 = 2.

Passo 6

Calcular as normas |v_r| e |v_s|.
  • Norma de v_r:
|v_r|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2.
  • Norma de v_s:
|v_s|=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2.

Passo 7

Calcular \cos\theta e determinar \theta.
  • Pela fórmula:
\cos\theta=\frac{v_r\cdot v_s}{|v_r|\;|v_s|}=\frac{2}{2\cdot2}=\frac{1}{2}.
  • Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • Conhecendo as razões trigonométricas básicas, \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=60^\circ, que em radianos é \dfrac{\pi}{3}.

Resposta

\theta=60^\circ=\dfrac{\pi}{3}

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