Forme as equações reduzidas em função de
, da reta que possui o ponto
e os ângulos diretores são
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo que preciso para começar):
- Um ponto por onde a reta passa:
. - Os ângulos diretores da reta em relação aos eixos
, e : , e .
O que é pedido: - Formar as equações reduzidas da reta em função de
. Ou seja, escrever e como funções lineares de (formas do tipo e ) para a reta que passa por e tem os ângulos diretores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores e como usá‑los na reta.
- Os ângulos diretores
são os ângulos que a reta faz com os eixos . - As funções coseno desses ângulos são chamadas de cossenos diretores. Denotamos
- Esses três números
servem como componentes (normalizadas) de um vetor diretor da reta: o vetor diretor pode ser tomado como . - Para uma reta em 3D os cossenos diretores satisfazem a identidade
que garante consistência geométrica (o vetor tem comprimento ).
Agora calculo os cossenos diretores usando os ângulos dados:
Faço a verificação rápida de consistência:
logo os cossenos diretores são válidos.
Passo 3
Com o ponto
e o vetor diretor
, a forma simétrica da reta é
Essa igualdade significa: existe um parâmetro comum
tal que
Note que eu defini
como o mesmo quociente em cada fração (isso é a ideia por trás da forma simétrica/paramétrica).
Passo 4
Agora queremos escrever
e
em função de
. A estratégia é eliminar
usando a primeira equação
, ou seja,
Substituo esse
nas equações de
e
.
Para
:
Portanto
Para
:
Logo
Faço uma checagem simples: se
(o ponto
), então
e
, recuperando o ponto
. Perfeito.
Passo 5
Resumo didático rápido do método (para usar na prova):
- Calcule os cossenos diretores
como dos ângulos dados. - Escreva a forma simétrica
. - Use a primeira fração para expressar o parâmetro em função de
: . - Substitua nas outras duas frações para obter
e em função de .
Isso sempre dá equações reduzidas do tipoe .