Forme as equações reduzidas em função de x, da reta que possui o ponto P(2,3,-1) e os ângulos diretores são 60^{\circ}, 120^{\circ} e 135^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo que preciso para começar):
  • Um ponto por onde a reta passa: P(2,3,-1).
  • Os ângulos diretores da reta em relação aos eixos x, y e z: \alpha=60^\circ, \beta=120^\circ e \gamma=135^\circ.
    O que é pedido:
  • Formar as equações reduzidas da reta em função de x. Ou seja, escrever y e z como funções lineares de x (formas do tipo y=f(x) e z=g(x)) para a reta que passa por P e tem os ângulos diretores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores e como usá‑los na reta.
  • Os ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma são os ângulos que a reta faz com os eixos Ox,Oy,Oz.
  • As funções coseno desses ângulos são chamadas de cossenos diretores. Denotamos l=\cos\alpha,\qquad m=\cos\beta,\qquad n=\cos\gamma.
  • Esses três números l,m,n servem como componentes (normalizadas) de um vetor diretor da reta: o vetor diretor pode ser tomado como (l,m,n).
  • Para uma reta em 3D os cossenos diretores satisfazem a identidade l^2+m^2+n^2=1,que garante consistência geométrica (o vetor (l,m,n) tem comprimento 1).
Agora calculo os cossenos diretores usando os ângulos dados:
  • \displaystyle l=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}.
  • \displaystyle m=\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}.
  • \displaystyle n=\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Faço a verificação rápida de consistência:
l^2+m^2+n^2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}=1,
logo os cossenos diretores são válidos.

Passo 3

Com o ponto P(2,3,-1) e o vetor diretor (l,m,n)=\big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big), a forma simétrica da reta é
\frac{x-2}{\tfrac{1}{2}}=\frac{y-3}{-\tfrac{1}{2}}=\frac{z+1}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Essa igualdade significa: existe um parâmetro comum t tal que
x-2=\tfrac{1}{2}t,\qquad y-3=-\tfrac{1}{2}t,\qquad z+1=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}t.
Note que eu defini t como o mesmo quociente em cada fração (isso é a ideia por trás da forma simétrica/paramétrica).

Passo 4

Agora queremos escrever y e z em função de x. A estratégia é eliminar t usando a primeira equação x-2=\tfrac{1}{2}t, ou seja,
t=\frac{x-2}{\tfrac{1}{2}}=2(x-2).
Substituo esse t nas equações de y e z.
Para y:
y-3=-\tfrac{1}{2}t=-\tfrac{1}{2}\cdot 2(x-2)=-1\cdot (x-2).
Portanto
y=3-(x-2)=5-x.
Para z:
z+1=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}t=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2(x-2)=-\sqrt{2}\,(x-2).
Logo
z=-1-\sqrt{2}\,(x-2).
Faço uma checagem simples: se x=2 (o ponto P), então y=5-2=3 e z=-1-\sqrt{2}\cdot 0=-1, recuperando o ponto P. Perfeito.

Passo 5

Resumo didático rápido do método (para usar na prova):
  • Calcule os cossenos diretores l,m,n como \cos dos ângulos dados.
  • Escreva a forma simétrica \dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}.
  • Use a primeira fração para expressar o parâmetro em função de x: t=(x-x_0)/l.
  • Substitua nas outras duas frações para obter y e z em função de x.
    Isso sempre dá equações reduzidas do tipo y=f(x) e z=g(x).

Resposta

y=5-x
z=-1-\sqrt{2}\,(x-2)

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