Determinar o ponto P com abscissa zero e um vetor diretor \vec{v} de cada uma das retas:
\left\{\begin{array}{c}y=2 \\\ z=-2+x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece as equações da reta pelo sistema
\begin{cases} y=2\\[4pt] z=-2+x \end{cases}
E pede duas coisas:
  • Determinar o ponto P da reta cuja abscissa (isto é, a coordenada x) vale zero.
  • Determinar um vetor diretor \vec{v} da reta (um vetor que indique a direção da reta).
As informações relevantes dadas são as duas igualdades acima, que relacionam as coordenadas (x,y,z) dos pontos da reta.]

Passo 2

Explicando os conceitos (de leve, como um amigo explicando):
  • “Abscissa” é só o nome chique para a coordenada x. Pedir o ponto com abscissa zero significa: encontrar o ponto da reta com x=0.
  • Um “vetor diretor” \vec{v} de uma reta em \mathbb{R}^3 é qualquer vetor paralelo à reta. Se conseguirmos escrever a reta na forma paramétrica
\vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v},
então \vec{v} é exatamente o vetor diretor. Aqui \vec{r_0} é um ponto fixo da reta (posso escolher t=0 para obter \vec{r_0}) e t é o parâmetro.
Método prático para essa questão: escolher uma variável livre como parâmetro. Nas equações dadas, y já é constante e z é dado em função de x, então escolher x como parâmetro é natural: tomar x=t. Em seguida expressar y e z em função de t.

Passo 3

Aplicar a condição “abscissa zero” para achar P.
Colocar x=0 nas equações:
y=2
z=-2+x=-2+0=-2.
Portanto o ponto com abscissa zero tem coordenadas
P=(0,2,-2).

Passo 4

Agora obter um vetor diretor através da parametrização. Tomando x=t como parâmetro, das equações vem
x=t,\qquad y=2,\qquad z=t-2.
Escrevendo a equação vetorial da reta:
\vec{r}(t)=(t,\,2,\,t-2).
Isolando como ponto mais parâmetro:
\vec{r}(t)=(0,2,-2)+t\,(1,0,1).
Da expressão acima vemos diretamente que um vetor diretor válido é
\vec{v}=(1,0,1).

Passo 5

Verificação e observações práticas (úteis na prova):
  • Posso checar pegando outro valor de t, por exemplo t=1. Então o ponto correspondente é Q=(1,2,-1). A diferença Q-P=(1,0,1) confirma que \vec{v}=(1,0,1) é paralelo à reta.
  • Vetor diretor não é único: qualquer múltiplo escalar de (1,0,1), por exemplo (2,0,2) ou (-1,0,-1), também serve. Normalmente escolhe-se um vetor com componentes inteiras e simples, como (1,0,1).

Resposta

P=(0,2,-2)
\vec{v}=(1,0,1)

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