Exemplo 4 (RA2): Para verificar se os planos
e
são ortogonais, um estudante resolveu da forma a seguir. Verifique se a resolução está correta, caso contrário, indique o(s) erro(s) e corrija-o(s):
Resolução: Para verificar se os planos são ortogonais é necessário avaliar se os vetores normais dos planos
e
são ortogonais, ou seja,
.
Desta forma, a partir das equações gerais, tem-se:
e
.
Portanto, como
, conclui-se que os planos são ortogonais.
Portanto, como
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a resolução do estudante está correta; se não estiver, indicar os erros e corrigir.
Os dados fornecidos são as equações dos planos:
Os dados fornecidos são as equações dos planos:
A resolução do estudante afirma que os vetores normais são
e
, calcula o produto escalar
e conclui que os planos são ortogonais.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): dada uma equação geral de plano
o vetor normal ao plano é
O termo
é o termo independente (constante) e NÃO é componente do vetor normal. Ou seja, apenas os coeficientes de
,
e
formam o vetor normal.
Passo 3
Identificando o erro do estudante: na equação
os coeficientes de
,
,
são respectivamente
,
,
. O estudante confundiu o termo constante
com o coeficiente de
e por isso escreveu
. Isso é incorreto:
é o termo independente
, não o coeficiente de
.
Passo 4
Vetor normal correto de cada plano (pegando os coeficientes das equações dadas):
Passo 5
Critério para ortogonalidade de planos: dois planos são ortogonais se e somente se seus vetores normais são ortogonais, isto é, se o produto escalar
. O produto escalar é definido por
Passo 6
Calcular o produto escalar com os vetores normais corretos:
Como
, os vetores normais não são ortogonais, logo os planos não são ortogonais.
Passo 7
(Bônus didático) Se quiser saber o ângulo
entre os planos, use a relação entre os vetores normais:
Cálculos:
Isto dá
, confirmando que não são perpendiculares.
Resposta
Incorreta: o estudante errou ao tomar
como coeficiente de
.
Vetores normais corretos: ,
.
Como , os planos não são ortogonais.
Vetores normais corretos:
Como