Exemplo 4 (RA2): Para verificar se os planos \pi_{1}: 3 x-y+z-1=0 e \pi_{2}: x+y-2=0 são ortogonais, um estudante resolveu da forma a seguir. Verifique se a resolução está correta, caso contrário, indique o(s) erro(s) e corrija-o(s):
Resolução: Para verificar se os planos são ortogonais é necessário avaliar se os vetores normais dos planos \pi_{1} e \pi_{2} são ortogonais, ou seja, \vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}=0.
Desta forma, a partir das equações gerais, tem-se: \vec{n}_{1}=(3,-1,1) e \vec{n}_{2}=(1,1,-2).
\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}=(3,-1,1) \cdot(1,1,-2)=3-1-2=0
Portanto, como \vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}=0, conclui-se que os planos são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a resolução do estudante está correta; se não estiver, indicar os erros e corrigir.
Os dados fornecidos são as equações dos planos:
\pi_{1}:\;3x-y+z-1=0, \qquad \pi_{2}:\;x+y-2=0.
A resolução do estudante afirma que os vetores normais são \vec{n}_{1}=(3,-1,1) e \vec{n}_{2}=(1,1,-2), calcula o produto escalar \vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}=0 e conclui que os planos são ortogonais.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): dada uma equação geral de plano
ax+by+cz+d=0,
o vetor normal ao plano é
\vec{n}=(a,b,c).
O termo d é o termo independente (constante) e NÃO é componente do vetor normal. Ou seja, apenas os coeficientes de x, y e z formam o vetor normal.

Passo 3

Identificando o erro do estudante: na equação \pi_{2}:x+y-2=0 os coeficientes de x, y, z são respectivamente 1, 1, 0. O estudante confundiu o termo constante -2 com o coeficiente de z e por isso escreveu \vec{n}_{2}=(1,1,-2). Isso é incorreto: -2 é o termo independente d, não o coeficiente de z.

Passo 4

Vetor normal correto de cada plano (pegando os coeficientes das equações dadas):
\vec{n}_{1}=(3,-1,1)\quad\text{(a partir de }3x-y+z-1=0\text{)},
\vec{n}_{2}=(1,1,0)\quad\text{(a partir de }x+y-2=0\text{, observe que o coeficiente de }z\text{ é }0\text{).}é

Passo 5

Critério para ortogonalidade de planos: dois planos são ortogonais se e somente se seus vetores normais são ortogonais, isto é, se o produto escalar \vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}=0. O produto escalar é definido por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.

Passo 6

Calcular o produto escalar com os vetores normais corretos:
\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2} = (3,-1,1)\cdot(1,1,0) = 3\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot0 = 3 - 1 + 0 = 2.
Como \vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}=2\neq0, os vetores normais não são ortogonais, logo os planos não são ortogonais.

Passo 7

(Bônus didático) Se quiser saber o ângulo \theta entre os planos, use a relação entre os vetores normais:
\cos\theta=\frac{|\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}|}{\|\vec{n}_{1}\|\;\|\vec{n}_{2}\|}.
Cálculos:
\|\vec{n}_{1}\|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{11},\qquad \|\vec{n}_{2}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2},
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{11}\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{22}}.
Isto dá \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{22}}\right)\approx64{,}8^\circ, confirmando que não são perpendiculares.

Resposta

Incorreta: o estudante errou ao tomar -2 como coeficiente de z.
Vetores normais corretos: \vec{n}_{1}=(3,-1,1), \vec{n}_{2}=(1,1,0).
Como \vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}=2\neq0, os planos não são ortogonais.

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