A decomposição do ácido acético a 1189 K procede por duas reações paralelas:
\begin{array}{ll} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH} \rightarrow \mathrm{CH}_{4}+\mathrm{CO}_{2} & \mathrm{k}_{1}=3,74 \mathrm{~s}^{-1} \\\ \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH} \rightarrow \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CO}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} & \mathrm{k}_{2}=4,65 \mathrm{~s}^{-1} \end{array}
Qual é a porcentagem máxima de \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CO} que pode ser obtida nessa temperatura?

Passo 1

O enunciado dá duas reações paralelas irreversíveis de decomposição do ácido acético a 1189 K com constantes de velocidade:
k_1 = 3{,}74\\ \text{s}^{-1}
k_2 = 4{,}65\\ \text{s}^{-1}
As reações são:
\mathrm{CH}_3\mathrm{COOH} \xrightarrow{k_1} \mathrm{CH}_4 + \mathrm{CO}_2
\mathrm{CH}_3\mathrm{COOH} \xrightarrow{k_2} \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} + \mathrm{H}_2\mathrm{O}
A pergunta é: qual é a porcentagem máxima de \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} que pode ser obtida nessa temperatura?

Passo 2

Entender o que significa “reações paralelas” e o que se pede. Reações paralelas partem do mesmo reagente inicial (aqui \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}) e competem para formar produtos distintos. Cada reação tem uma constante de velocidade própria. Quando ambas são de primeira ordem em \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}, a perda de \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH} obedece a uma lei exponencial com taxa total igual à soma das constantes individuais. Vou explicar isso devagarinho.

Passo 3

Lei de decaimento para primeira ordem e taxa efetiva. Se a concentração de ácido acético for [A](t) (onde A representa \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}), e cada via é de primeira ordem, então a velocidade de consumo total é:
-\frac{d[A]}{dt} = (k_1 + k_2)[A]
Isso significa que a constante efetiva de decaimento de [A] é k_1+k_2. Integrando essa equação (uma aula curta de integrais): separar variáveis e integrar de 0 a t dá a solução exponencial conhecida:
[A](t) = [A]_0 e^{-(k_1+k_2)t}
onde [A]_0 é a concentração inicial de \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}. Aqui eu dei o passo da integração: \int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = -\int_0^t (k_1+k_2)\,dt, que resulta em \ln\!\big([A](t)/[A]_0\big)=-(k_1+k_2)t.

Passo 4

Quanto de produto \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} é formado até o tempo t? A velocidade instantânea de formação de \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} é k_2[A](t). Então a quantidade formada até t (chamemos de [P_2](t)) é a integral dessa velocidade:
[P_2](t) = \int_0^t k_2 [A](u)\,du
Substituindo a expressão de [A](u) da etapa anterior:
[P_2](t) = \int_0^t k_2 [A]_0 e^{-(k_1+k_2)u}\,du
Essa integral é direta (exponencial): resulta em
[P_2](t) = [A]_0 \,\frac{k_2}{k_1+k_2}\left(1 - e^{-(k_1+k_2)t}\right)

Passo 5

Interpretação: a fração do ácido acético inicial que termina como \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} no tempo t é
\frac{[P_2](t)}{[A]_0} = \frac{k_2}{k_1+k_2}\left(1 - e^{-(k_1+k_2)t}\right).
Para obter a porcentagem máxima de \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} devemos considerar o limite de tempo longo ( t\to\infty), isto é, quando todo o ácido acético já reagiu. No limite:
\lim_{t\to\infty}\left(1 - e^{-(k_1+k_2)t}\right) = 1,
portanto a fração máxima é simplesmente
\frac{k_2}{k_1+k_2}.
Esse resultado é intuitivo: das colisões/transformações do reagente, a fração que segue a via 2 é proporcional à constante k_2 comparada à soma das constantes de todas as vias.

Passo 6

Agora substituímos os números dados. Primeiro a soma:
k_1+k_2 = 3{,}74 + 4{,}65 = 8{,}39\\ \text{s}^{-1}.
A fração máxima que vira \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} é
\frac{k_2}{k_1+k_2} = \frac{4{,}65}{8{,}39} \approx 0{,}554231\ldots
Convertendo para porcentagem multiplicando por 100\%:
100\%\times \frac{4{,}65}{8{,}39} \approx 55{,}42\%.

Resposta

55,42\%

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