A pergunta é: qual é a porcentagem máxima de \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} que pode ser obtida nessa temperatura?
Passo 2
Entender o que significa “reações paralelas” e o que se pede. Reações paralelas partem do mesmo reagente inicial (aqui \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}) e competem para formar produtos distintos. Cada reação tem uma constante de velocidade própria. Quando ambas são de primeira ordem em \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}, a perda de \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH} obedece a uma lei exponencial com taxa total igual à soma das constantes individuais. Vou explicar isso devagarinho.
Passo 3
Lei de decaimento para primeira ordem e taxa efetiva. Se a concentração de ácido acético for [A](t) (onde A representa \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}), e cada via é de primeira ordem, então a velocidade de consumo total é:
-\frac{d[A]}{dt} = (k_1 + k_2)[A]
Isso significa que a constante efetiva de decaimento de [A] é k_1+k_2. Integrando essa equação (uma aula curta de integrais): separar variáveis e integrar de 0 a t dá a solução exponencial conhecida:
[A](t) = [A]_0 e^{-(k_1+k_2)t}
onde [A]_0 é a concentração inicial de \mathrm{CH}_3\mathrm{COOH}. Aqui eu dei o passo da integração: \int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = -\int_0^t (k_1+k_2)\,dt, que resulta em \ln\!\big([A](t)/[A]_0\big)=-(k_1+k_2)t.
Passo 4
Quanto de produto \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} é formado até o tempo t? A velocidade instantânea de formação de \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} é k_2[A](t). Então a quantidade formada até t (chamemos de [P_2](t)) é a integral dessa velocidade:
[P_2](t) = \int_0^t k_2 [A](u)\,du
Substituindo a expressão de [A](u) da etapa anterior:
Para obter a porcentagem máxima de \mathrm{CH}_2\mathrm{CO} devemos considerar o limite de tempo longo (t\to\infty), isto é, quando todo o ácido acético já reagiu. No limite:
Esse resultado é intuitivo: das colisões/transformações do reagente, a fração que segue a via 2 é proporcional à constante k_2 comparada à soma das constantes de todas as vias.
Passo 6
Agora substituímos os números dados. Primeiro a soma: