Vendas Uma empresa tem vendas (medidas em milhões) de 50, $60 $ 75$ durante três anos consecutivos. Encontre uma função quadrática que ajuste os dados e use-a para prever as vendas durante o quarto ano.

Passo 1

Temos as vendas em três anos consecutivos, que podemos associar aos pontos
(1,50), (2,60) e (3,75), onde o primeiro número de cada par é o ano e o segundo é a venda (em milhões). Queremos ajustar um polinômio quadrático a esses três pontos e depois usar esse polinômio para prever a venda no quarto ano.

Passo 2

Procuramos um polinômio de grau 2 da forma
y(x) = a x^2 + b x + c
e impondo que ele passe pelos três pontos temos o sistema
acdot1^2 + bcdot1 + c = 50
acdot2^2 + bcdot2 + c = 60
acdot3^2 + bcdot3 + c = 75

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 60 - 50
3a + b = 10
E subtraindo a segunda da terceira:
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 75 - 60
5a + b = 15
Agora resolvemos
3a + b = 10, 5a + b = 15
Subtraindo a primeira da segunda obtemos 2a = 5, logo
a = 2,5
Em seguida, de 3a + b = 10 vem
3cdot2,5 + b = 10Longrightarrow b = 2,5

Passo 4

Para encontrar c usamos a primeira equação do sistema inicial:
a + b + c = 50
2,5 + 2,5 + c = 50Longrightarrow c = 45

Passo 5

Portanto o polinômio ajustado é
y(x) = 2,5,x^2 + 2,5,x + 45
Para prever a venda no quarto ano ( x=4) calculamos
y(4) = 2,5cdot4^2 + 2,5cdot4 + 45 = 2,5cdot16 + 10 + 45 = 40 + 10 + 45 = 95

Resposta

y(x) = 2,5x^2 + 2,5x + 45
Vendas previstas no quarto ano: 95 milhões.

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