População de cervos Uma equipe de gerenciamento de animais selvagens estudou a população de cervos em uma pequena área de reserva natural. A tabela mostra a população e o número de anos desde o início do estudo.
Ano 0 4 80
População 80 68 30
(a) Configure um sistema de equações para ajustar os dados com uma função quadrática.

Passo 1

O enunciado fornece três pontos da população de cervos em função do tempo (anos desde o início): (0,80), (4,68) e (80,30). Queremos ajustar esses dados por uma função quadrática, ou seja, encontrar coeficientes de uma parábola que passe exatamente por esses três pontos.

Passo 2

Vamos modelar a população P(x) em função do tempo x por
P(x) = a,x^2 + b,x + c,
onde a, b e c são constantes a determinar.

Passo 3

Para o ponto (0,80), substituindo x=0 e P(0)=80 na expressão, obtemos
c = 80

Passo 4

Para o ponto (4,68), substituindo x=4 e P(4)=68, fica
a,(4)^2 + b,(4) + c = 68 Longrightarrow 16a + 4b + c = 68

Passo 5

Para o ponto (80,30), substituindo x=80 e P(80)=30, fica
a,(80)^2 + b,(80) + c = 30 Longrightarrow 6400a + 80b + c = 30

Resposta

O sistema de equações que ajusta os dados por uma função quadrática é
c = 80, 16a + 4b + c = 68, 6400a + 80b + c = 30

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