Utilizando a decomposição acima, resolva o sistema linear \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}, \operatorname{com} \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -2 \\\\ -1\end{array}\right]
x_{1}= □
x_{2}= □
x_{3}= □
Passo 1
O enunciado dá a decomposição \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U} e pede a solução do sistema linear \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com
Explicando a ideia sem pular etapas: como \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U} e \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}, multiplico ambos os lados de \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} por \mathbf{P} à esquerda para obter
Agora faço a substituição auxiliar \mathbf{y}=\mathbf{U}\mathbf{x}. Assim primeiro resolvo o sistema triangular inferior
\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{b},
e depois o triangular superior
\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}.
Observação sobre \mathbf{P}: é uma matriz de permutação que troca as linhas; multiplicar \mathbf{P} por \mathbf{b} permuta as entradas de \mathbf{b}. Vou calcular \mathbf{P}\mathbf{b} explicitamente.
Passo 3
Calcule \mathbf{P}\mathbf{b}. Multiplicando a matriz \mathbf{P} pela coluna \mathbf{b} obtemos (ou seja, pegando as linhas permutadas de \mathbf{b}):
Resolver \mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{b} por forward substitution. Escrevendo \mathbf{y}=\begin{bmatrix}y_1\\[4pt]y_2\\[4pt]y_3\end{bmatrix}, o sistema é
Agora resolvo \mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y} por backward substitution. Escrevendo \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{bmatrix}, o sistema é