A decomposição \mathbf{P A}=\mathbf{L U} de uma matriz \mathbf{3} \times \mathbf{3} é dada por
\mathbf{P}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right] ; \quad \mathbf{L}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] ; \quad \mathbf{U}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\\\ 0 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right]
Utilizando a decomposição acima, resolva o sistema linear \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}, \operatorname{com} \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -2 \\\\ -1\end{array}\right]
  • x_{1}=
  • x_{2}=
  • x_{3}=

Passo 1

O enunciado dá a decomposição \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U} e pede a solução do sistema linear \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com
\mathbf{P}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{bmatrix},\qquad \mathbf{L}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{U}=\begin{bmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3\end{bmatrix},
e
\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{bmatrix}.
As incógnitas solicitadas são:
  • x_{1}=
  • x_{2}=
  • x_{3}= □]

Passo 2

Explicando a ideia sem pular etapas: como \mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{U} e \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}, multiplico ambos os lados de \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} por \mathbf{P} à esquerda para obter
\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{b}.
Pela decomposição isso vira
\mathbf{L}\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{b}.
Agora faço a substituição auxiliar \mathbf{y}=\mathbf{U}\mathbf{x}. Assim primeiro resolvo o sistema triangular inferior
\mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{b},
e depois o triangular superior
\mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y}.
Observação sobre \mathbf{P}: é uma matriz de permutação que troca as linhas; multiplicar \mathbf{P} por \mathbf{b} permuta as entradas de \mathbf{b}. Vou calcular \mathbf{P}\mathbf{b} explicitamente.

Passo 3

Calcule \mathbf{P}\mathbf{b}. Multiplicando a matriz \mathbf{P} pela coluna \mathbf{b} obtemos (ou seja, pegando as linhas permutadas de \mathbf{b}):
\mathbf{P}\mathbf{b}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix}.]

Passo 4

Resolver \mathbf{L}\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{b} por forward substitution. Escrevendo \mathbf{y}=\begin{bmatrix}y_1\\[4pt]y_2\\[4pt]y_3\end{bmatrix}, o sistema é
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1\\[4pt]y_2\\[4pt]y_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Explicando forward substitution: como \mathbf{L} é triangular inferior com 1 na diagonal, resolvemos as equações de cima para baixo.
  1. Primeira equação: 1\cdot y_1 = -2. Logo
y_1 = -2.
  1. Segunda equação: 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = -1. Substituindo y_1:
2(-2) + y_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad -4 + y_2 = -1 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 3.
  1. Terceira equação: -1\cdot y_1 + 0\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = 2. Substituindo y_1:
-(-2) + y_3 = 2 \quad\Rightarrow\quad 2 + y_3 = 2 \quad\Rightarrow\quad y_3 = 0.
Portanto
\mathbf{y}=\begin{bmatrix}-2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvo \mathbf{U}\mathbf{x}=\mathbf{y} por backward substitution. Escrevendo \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{bmatrix}, o sistema é
\begin{bmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt]0 & -2 & 1\\[4pt]0 & 0 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Explicando backward substitution: como \mathbf{U} é triangular superior, resolvemos de baixo para cima.
  1. Terceira equação (linha 3): 3\cdot x_3 = 0. Logo
x_3 = 0.
  1. Segunda equação (linha 2): -2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 3. Como x_3=0,
-2 x_2 = 3 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -\frac{3}{2}.
  1. Primeira equação (linha 1): 2\cdot x_1 + 3\cdot x_2 -1\cdot x_3 = -2. Substituindo x_2 e x_3:
2 x_1 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) - 0 = -2 \quad\Rightarrow\quad 2 x_1 - \frac{9}{2} = -2.
Isolando x_1:
2 x_1 = -2 + \frac{9}{2} = \frac{-4+9}{2} = \frac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{5}{4}.]

Resposta

x_{1}=\dfrac{5}{4}
x_{2}=-\dfrac{3}{2}
x_{3}=0

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