(a) Qual é a expressão para a forma integrada partindo-se de [\mathrm{CH} 3 \mathrm{CHO}](0)=\mathrm{A}_{0} ?
(b) Qual é o método gráfico que deve ser usado (apresente graficamente) para o cálculo da constante de velocidade?
Passo 1
O enunciado dá a lei de velocidade da decomposição do acetaldeído puro em fase gás e pede duas coisas:
(a) A expressão integrada da concentração em função do tempo, partindo de [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](0)=\mathrm{A}_0.
(b) O método gráfico a usar para obter a constante de velocidade k (apresentar graficamente).
Definições e reescrita do problema em notação curta (para facilitar a resolução):
Vamos chamar a concentração em função do tempo de [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](t)=A(t). Então a equação dada fica
-\frac{dA}{dt}=kA^{3/2}.
Aqui A(t) é a concentração do reagente no tempo t, \mathrm{A}_0 é a concentração inicial A(0), k é a constante de velocidade e t é o tempo. Todas as quantidades positivas.
Passo 3
Identificar o tipo de equação e separar variáveis:
A equação é separável (todas as potências de A aparecem multiplicando dt). Reescrevemos isolando termos em A e em t:
\frac{dA}{A^{3/2}} = -k\,dt.
Explicação rápida (o que estamos fazendo): separáveis significa que podemos escrever toda dependência em A de um lado e a dependência em t do outro para integrar cada lado independentemente. Isso é padrão para leis de velocidade monocomponentes como esta.
Passo 4
Integrar ambos os lados — passo a passo do cálculo da integral em A:
Integramos a expressão anterior entre A(0)=\mathrm{A}_0 e A(t)=A no lado esquerdo, e entre 0 e t no lado direito:
Isolar a grandeza desejada e simplificar a relação integrada:
Multiplicando ambos os lados por -1 e reorganizando obtemos
2A^{-1/2} = kt + 2\mathrm{A}_0^{-1/2}.
Dividindo por 2:
A^{-1/2} = \frac{k}{2}\,t + \mathrm{A}_0^{-1/2}.
Explicação do significado: essa é uma forma linear entre A^{-1/2} (função da concentração) e t. É muito útil porque transforma a dependência não linear original numa reta — isso é a chave para a parte (b).
Passo 6
Obter a expressão explícita para A(t) (forma integrada final):
A partir de A^{-1/2} = \dfrac{k}{2}t + \mathrm{A}_0^{-1/2}, invertendo a potência -1/2 temos
Interpretação prática: à medida que t cresce, o denominador cresce (desde que k>0), então a concentração decresce; a dependência temporal é do tipo quadrática inversa da soma \mathrm{A}_0^{-1/2} + \tfrac{k}{2}t.
Passo 7
Método gráfico para determinação de k — explicação e representação gráfica:
Usamos a forma linearizada que encontramos:
A^{-1/2} = \frac{k}{2}\,t + \mathrm{A}_0^{-1/2}.
Método: medir experimentalmente A(t)=[\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](t) em vários instantos t, calcular A(t)^{-1/2} para cada ponto e plotar esses valores no eixo vertical (ordenada) contra t no eixo horizontal (abscissa).
A previsão teórica é que os pontos caem sobre uma reta. A equação da reta é
y = m t + b
com y = A^{-1/2}, m=\dfrac{k}{2} e b=\mathrm{A}_0^{-1/2}.
Como extrair k: determine o coeficiente angular (inclinação) m da reta ajustada (por exemplo, ajuste linear por mínimos quadrados). Então
k = 2m.
Representação esquemática (desenho textual da ideia do gráfico):
y ( = A^{-1/2} )
^
| /
| /
| / <- reta de inclinação m=k/2
| /
|-----/------------------> t
0
Observações práticas: o intercepto em t=0 dá \mathrm{A}_0^{-1/2}, o que permite verificar a consistência com a concentração inicial; a qualidade do ajuste (R^2) indica se o modelo A^{3/2} é adequado aos dados.
Resposta
(a) [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](t)=\dfrac{1}{\big(\mathrm{A}_0^{-1/2}+\tfrac{k}{2}t\big)^{2}}.\n
(b) Traçar [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}]^{-1/2} versus t; obtém-se uma reta com inclinação m=\dfrac{k}{2}, logo k=2m.