A decomposição não catalisada de acetaldeído puro em fase gás segue uma cinética na qual a velocidade é dada por:
-\frac{d[\mathrm{CH} 3 \mathrm{CHO}]}{d t}=k[\mathrm{CH} 3 \mathrm{CHO}]^{3 / 2}
(a) Qual é a expressão para a forma integrada partindo-se de [\mathrm{CH} 3 \mathrm{CHO}](0)=\mathrm{A}_{0} ?
(b) Qual é o método gráfico que deve ser usado (apresente graficamente) para o cálculo da constante de velocidade?

Passo 1

O enunciado dá a lei de velocidade da decomposição do acetaldeído puro em fase gás e pede duas coisas:
  • (a) A expressão integrada da concentração em função do tempo, partindo de [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](0)=\mathrm{A}_0.
  • (b) O método gráfico a usar para obter a constante de velocidade k (apresentar graficamente).
Informações relevantes fornecidas:
  • Lei diferencial da reação:
-\frac{d[\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}]}{dt}=k[\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}]^{3/2}.
  • Condição inicial:
[\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](0)=\mathrm{A}_0.

Passo 2

Definições e reescrita do problema em notação curta (para facilitar a resolução):
  • Vamos chamar a concentração em função do tempo de [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](t)=A(t). Então a equação dada fica
-\frac{dA}{dt}=kA^{3/2}.
  • Aqui A(t) é a concentração do reagente no tempo t, \mathrm{A}_0 é a concentração inicial A(0), k é a constante de velocidade e t é o tempo. Todas as quantidades positivas.

Passo 3

Identificar o tipo de equação e separar variáveis:
  • A equação é separável (todas as potências de A aparecem multiplicando dt). Reescrevemos isolando termos em A e em t:
\frac{dA}{A^{3/2}} = -k\,dt.
  • Explicação rápida (o que estamos fazendo): separáveis significa que podemos escrever toda dependência em A de um lado e a dependência em t do outro para integrar cada lado independentemente. Isso é padrão para leis de velocidade monocomponentes como esta.

Passo 4

Integrar ambos os lados — passo a passo do cálculo da integral em A:
  • Integramos a expressão anterior entre A(0)=\mathrm{A}_0 e A(t)=A no lado esquerdo, e entre 0 e t no lado direito:
\int_{\mathrm{A}_0}^{A} \! A^{-3/2}\,dA = -k\int_{0}^{t}\! dt.
  • Calcular a integral de A^{-3/2}. Lembre que para \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} quando n\neq -1. Aqui n=-3/2, então
\int A^{-3/2}\,dA = \frac{A^{-1/2}}{-1/2} = -2A^{-1/2}.
  • Aplicando os limites:
\big[-2A^{-1/2}\big]_{\mathrm{A}_0}^{A} = -k[t]_0^{t}.
  • Avaliando os limites:
-2A^{-1/2} - \big(-2\mathrm{A}_0^{-1/2}\big) = -kt.
Ou seja
-2A^{-1/2} + 2\mathrm{A}_0^{-1/2} = -kt.

Passo 5

Isolar a grandeza desejada e simplificar a relação integrada:
  • Multiplicando ambos os lados por -1 e reorganizando obtemos
2A^{-1/2} = kt + 2\mathrm{A}_0^{-1/2}.
  • Dividindo por 2:
A^{-1/2} = \frac{k}{2}\,t + \mathrm{A}_0^{-1/2}.
  • Explicação do significado: essa é uma forma linear entre A^{-1/2} (função da concentração) e t. É muito útil porque transforma a dependência não linear original numa reta — isso é a chave para a parte (b).

Passo 6

Obter a expressão explícita para A(t) (forma integrada final):
  • A partir de A^{-1/2} = \dfrac{k}{2}t + \mathrm{A}_0^{-1/2}, invertendo a potência -1/2 temos
A(t) = \left(\frac{1}{\dfrac{k}{2}t + \mathrm{A}_0^{-1/2}}\right)^{2}.
  • Uma forma equivalente, talvez mais clara:
[\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](t) = \frac{1}{\big(\mathrm{A}_0^{-1/2} + \tfrac{k}{2}t\big)^{2}}.
  • Interpretação prática: à medida que t cresce, o denominador cresce (desde que k>0), então a concentração decresce; a dependência temporal é do tipo quadrática inversa da soma \mathrm{A}_0^{-1/2} + \tfrac{k}{2}t.

Passo 7

Método gráfico para determinação de k — explicação e representação gráfica:
  • Usamos a forma linearizada que encontramos:
A^{-1/2} = \frac{k}{2}\,t + \mathrm{A}_0^{-1/2}.
  • Método: medir experimentalmente A(t)=[\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](t) em vários instantos t, calcular A(t)^{-1/2} para cada ponto e plotar esses valores no eixo vertical (ordenada) contra t no eixo horizontal (abscissa).
  • A previsão teórica é que os pontos caem sobre uma reta. A equação da reta é
y = m t + b
com y = A^{-1/2}, m=\dfrac{k}{2} e b=\mathrm{A}_0^{-1/2}.
  • Como extrair k: determine o coeficiente angular (inclinação) m da reta ajustada (por exemplo, ajuste linear por mínimos quadrados). Então
k = 2m.
  • Representação esquemática (desenho textual da ideia do gráfico):
    y ( = A^{-1/2} )
    ^
    | /
    | /
    | / <- reta de inclinação m=k/2
    | /
    |-----/------------------> t
    0
  • Observações práticas: o intercepto em t=0 \mathrm{A}_0^{-1/2}, o que permite verificar a consistência com a concentração inicial; a qualidade do ajuste (R^2) indica se o modelo A^{3/2} é adequado aos dados.

Resposta

(a) [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}](t)=\dfrac{1}{\big(\mathrm{A}_0^{-1/2}+\tfrac{k}{2}t\big)^{2}}.\n
(b) Traçar [\mathrm{CH}_3\mathrm{CHO}]^{-1/2} versus t; obtém-se uma reta com inclinação m=\dfrac{k}{2}, logo k=2m.

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