A decomposição do número 1236, em fatores primos, é composta pelos números primos
(A) 3 e 101.
(B) 2,3 e 103.
(C) 2 e 101 .
(D) 2,5 e 103.

Passo 1

O enunciado dá o número \,1236\, e pede a decomposição em fatores primos. As alternativas são:
(A) \,3 e \,101.
(B) \,2,3 e \,103.
(C) \,2 e \,101.
(D) \,2,5 e \,103.
O que se pede: identificar quais números primos aparecem na fatoração de \,1236.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é fatoração prima (rapidinha e sem medo): fatorar um inteiro significa escrever ele como produto de primos. Primos são números que só têm dois divisores positivos: \,1 e ele mesmo (ex.: \,2,3,5,7,11,\dots).
Para fatorar, costuma-se dividir sucessivamente por primos pequenos usando regras de divisibilidade:
  • Um número é divisível por \,2 se for par (último dígito é \,0,2,4,6,8).
  • Um número é divisível por \,3 se a soma dos dígitos for divisível por \,3.
  • Um número é divisível por \,5 se termina em \,0 ou \,5.
    Vou aplicar essas regras passo a passo em \,1236.

Passo 3

Testando divisibilidade por \,2: \,1236 é par (termina em \,6), logo é divisível por \,2. Faço a divisão:
\frac{1236}{2}=618.
Então podemos escrever, até agora:
1236=2\cdot618.

Passo 4

Agora fatoro \,618. Novamente é par (termina em \,8), então divide por \,2:
\frac{618}{2}=309.
Assim:
1236=2\cdot2\cdot309=2^{2}\cdot309.

Passo 5

Fatorando \,309: uso a regra da soma dos dígitos para \,3. Soma dos dígitos de \,309 é 3+0+9=12. Como 12 é divisível por \,3, então \,309 também é divisível por \,3. Faço a divisão:
\frac{309}{3}=103.
Agora temos
1236=2^{2}\cdot3\cdot103.

Passo 6

Resta verificar se \,103 é primo. Para isso, basta testar divisibilidade por primos até a raiz quadrada de \,103.
A raiz quadrada aproximada é
\sqrt{103}\approx10{,}15.
Os primos a testar são \,2,3,5,7.
  • \,103 não é par, logo não divisível por \,2.
  • Soma dos dígitos 1+0+3=4, não divisível por \,3.
  • Não termina em \,0 nem \,5, então não é divisível por \,5.
  • Dividindo por \,7: 7\cdot14=98 e 7\cdot15=105>103, logo não é divisível por \,7.
    Nenhum divisor até \,\sqrt{103} foi encontrado, portanto \,103 é primo.

Passo 7

Confirmando a multiplicação final para checar erros aritméticos:
2^{2}\cdot3\cdot103 = 4\cdot3\cdot103 = 12\cdot103 = 12\cdot(100+3)=1200+36=1236.
Correto: a fatoração está consistente.

Passo 8

Resultado da decomposição em primos (organizado): os primos que aparecem são \,2, \,3 e \,103.

Resposta

(B)

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