9 Dedução de fórmulas de integração numérica
Mostre em detalhes como obter a Regra de Simpson para a integral aproximada da função f(x) no intervalo [a, b] :
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx S_{2}(f)=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar em detalhes como obter a Regra de Simpson, isto é, demonstrar a fórmula
\text{o integral a aproximar: }\int_{a}^{b} f(x)\,dx, \qquad \text{o ponto médio: }m=\frac{a+b}{2}.
Não foram dadas outras condições sobre f além de assumirmos a regularidade necessária para interpolação (derivadas suficientes quando precisarmos argumentar sobre erro).
Passo 2
Ideia da derivação (explicação didática): aproximamos f por um polinômio quadrático p que coincide com f nos três pontos x=a, x=m e x=b. A integral de f no intervalo será então aproximada pela integral exata de p. Para facilitar as contas e explorar simetria, fazemos uma mudança de variável centrando no ponto médio. Defina
h=\frac{b-a}{2},\qquad m=\frac{a+b}{2},
e a variável deslocada
t=x-m.
Assim x=a corresponde a t=-h, x=m corresponde a t=0 e x=b corresponde a t=h. Escrever as coisas com t facilita porque o intervalo de integração fica simétrico [-h,h].
Passo 3
Valores de f nos nós (para ficar mais curto nos símbolos):
Vamos construir o polinômio interpolador quadrático p(t) em termos dos polinômios de base de Lagrange para os nós t=-h,0,h. Os polinômios de base são definidos para cada nó como o polinômio que vale 1 nesse nó e 0 nos outros dois. Escrevemos explicitamente:
Expliquei cada denominador: por exemplo, para L_{-h} o denominador é (-h-0)(-h-h)=-h\cdot(-2h)=2h^{2}. Isso é só aritmética direta para garantir que cada L vale 1 no seu nó e 0 nos outros.
Passo 4
O interpolador quadrático p(t) que passa por ( -h,f_- ),(0,f_0),(h,f_+) é
p(t)=f_-\,L_{-h}(t)+f_0\,L_{0}(t)+f_+\,L_{h}(t).
A aproximação da integral original é, usando x=m+t e dx=dt,
Para L_{-h}(t)=\dfrac{t(t-h)}{2h^{2}}=\dfrac{t^{2}-ht}{2h^{2}}:
observe que o termo em t é ímpar e integra zero no intervalo simétrico; o termo em t^{2} contribui:
Comentário didático extra (para entender o porquê dos coeficientes 1,4,1 e do \tfrac{b-a}{6}): os coeficientes vêm das integrais dos polinômios de base de Lagrange sobre o intervalo simétrico; o \tfrac{b-a}{6} surge porque h/3=(b-a)/(2\cdot 3)=(b-a)/6. Note também que, embora tenhamos interpolado por um polinômio de grau 2, a Regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3 (graças à simetria do arranjo dos nós); por exemplo, sob a mudança x=m+t um termo cúbico torna-se ímpar e sua integral sobre [-h,h] é zero, o que garante exatidão para x^{3}.