9 Dedução de fórmulas de integração numérica
Mostre em detalhes como obter a Regra de Simpson para a integral aproximada da função f(x) no intervalo [a, b] :
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx S_{2}(f)=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar em detalhes como obter a Regra de Simpson, isto é, demonstrar a fórmula
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx S_{2}(f)=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].
Informações dadas que vamos usar diretamente:
\text{o integral a aproximar: }\int_{a}^{b} f(x)\,dx, \qquad \text{o ponto médio: }m=\frac{a+b}{2}.é
Não foram dadas outras condições sobre f além de assumirmos a regularidade necessária para interpolação (derivadas suficientes quando precisarmos argumentar sobre erro).

Passo 2

Ideia da derivação (explicação didática): aproximamos f por um polinômio quadrático p que coincide com f nos três pontos x=a, x=m e x=b. A integral de f no intervalo será então aproximada pela integral exata de p. Para facilitar as contas e explorar simetria, fazemos uma mudança de variável centrando no ponto médio. Defina
h=\frac{b-a}{2},\qquad m=\frac{a+b}{2},
e a variável deslocada
t=x-m.
Assim x=a corresponde a t=-h, x=m corresponde a t=0 e x=b corresponde a t=h. Escrever as coisas com t facilita porque o intervalo de integração fica simétrico [-h,h].

Passo 3

Valores de f nos nós (para ficar mais curto nos símbolos):
f_- := f(a)=f(m-h),\qquad f_0 := f(m)=f(0\\ \text{em }t),\qquad f_+ := f(b)=f(m+h).
Vamos construir o polinômio interpolador quadrático p(t) em termos dos polinômios de base de Lagrange para os nós t=-h,0,h. Os polinômios de base são definidos para cada nó como o polinômio que vale 1 nesse nó e 0 nos outros dois. Escrevemos explicitamente:
para o nó t=-h:
L_{-h}(t)=\frac{(t-0)(t-h)}{(-h-0)(-h-h)}=\frac{t(t-h)}{2h^{2}}.
para o nó t=0:
L_{0}(t)=\frac{(t+h)(t-h)}{(0+h)(0-h)}=\frac{t^{2}-h^{2}}{-h^{2}}=1-\frac{t^{2}}{h^{2}}.
para o nó t=h:
L_{h}(t)=\frac{(t+h)(t-0)}{(h+h)(h-0)}=\frac{t(t+h)}{2h^{2}}.
Expliquei cada denominador: por exemplo, para L_{-h} o denominador é (-h-0)(-h-h)=-h\cdot(-2h)=2h^{2}. Isso é só aritmética direta para garantir que cada L vale 1 no seu nó e 0 nos outros.

Passo 4

O interpolador quadrático p(t) que passa por ( -h,f_- ),(0,f_0),(h,f_+) é
p(t)=f_-\,L_{-h}(t)+f_0\,L_{0}(t)+f_+\,L_{h}(t).
A aproximação da integral original é, usando x=m+t e dx=dt,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \int_{a}^{b} p(x)\,dx = \int_{-h}^{h} p(t)\,dt.
Agora vamos calcular cada integral \int_{-h}^{h} L_{-h}(t)\,dt, \int_{-h}^{h} L_{0}(t)\,dt e \int_{-h}^{h} L_{h}(t)\,dt.

Passo 5

Calculemos as integrais das bases, usando simetria e integrais elementares.
  1. Para L_{0}(t)=1-\dfrac{t^{2}}{h^{2}}:
\int_{-h}^{h} L_{0}(t)\,dt=\int_{-h}^{h}\left(1-\frac{t^{2}}{h^{2}}\right)dt =\Big[t-\frac{t^{3}}{3h^{2}}\Big]_{-h}^{h}.
Avalie nos extremos:
\Big(t-\frac{t^{3}}{3h^{2}}\Big)\Big|_{t=h}=h-\frac{h^{3}}{3h^{2}}=h-\frac{h}{3}=\frac{2h}{3},
\Big(t-\frac{t^{3}}{3h^{2}}\Big)\Big|_{t=-h}=-h-\frac{(-h)^{3}}{3h^{2}}=-h+\frac{h}{3}=-\frac{2h}{3}.
Subtraindo,
\int_{-h}^{h} L_{0}(t)\,dt=\frac{2h}{3}-\big(-\frac{2h}{3}\big)=\frac{4h}{3}.
  1. Para L_{-h}(t)=\dfrac{t(t-h)}{2h^{2}}=\dfrac{t^{2}-ht}{2h^{2}}:
    observe que o termo em t é ímpar e integra zero no intervalo simétrico; o termo em t^{2} contribui:
\int_{-h}^{h} L_{-h}(t)\,dt=\frac{1}{2h^{2}}\int_{-h}^{h} (t^{2}-ht)\,dt =\frac{1}{2h^{2}}\left(\int_{-h}^{h} t^{2}dt - h\int_{-h}^{h} t\,dt\right).
Sabemos \int_{-h}^{h} t\,dt=0 (função ímpar) e \int_{-h}^{h} t^{2}dt=2\cdot\frac{h^{3}}{3}=\frac{2h^{3}}{3}. Assim
\int_{-h}^{h} L_{-h}(t)\,dt=\frac{1}{2h^{2}}\cdot\frac{2h^{3}}{3}=\frac{h}{3}.
  1. Pela simetria, L_{h}(t) é o espelho de L_{-h}(t), então
\int_{-h}^{h} L_{h}(t)\,dt=\frac{h}{3}.

Passo 6

Juntando as integrais para p(t):
\int_{-h}^{h} p(t)\,dt = f_- \int_{-h}^{h} L_{-h}(t)\,dt + f_0 \int_{-h}^{h} L_{0}(t)\,dt + f_+ \int_{-h}^{h} L_{h}(t)\,dt
portanto
\int_{-h}^{h} p(t)\,dt = f_- \frac{h}{3} + f_0 \frac{4h}{3} + f_+ \frac{h}{3}.
Lembre que f_-=f(a), f_0=f(m)=f\!\left(\frac{a+b}{2}\right) e f_+=f(b). Substituindo h=\dfrac{b-a}{2} obtemos
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f(a)+4f(m)+f(b)\big) = \frac{b-a}{6}\big(f(a)+4f\big(\tfrac{a+b}{2}\big)+f(b)\big).
Eis a Regra de Simpson buscada.

Passo 7

Comentário didático extra (para entender o porquê dos coeficientes 1,4,1 e do \tfrac{b-a}{6}): os coeficientes vêm das integrais dos polinômios de base de Lagrange sobre o intervalo simétrico; o \tfrac{b-a}{6} surge porque h/3=(b-a)/(2\cdot 3)=(b-a)/6. Note também que, embora tenhamos interpolado por um polinômio de grau 2, a Regra de Simpson é exata para polinômios até grau 3 (graças à simetria do arranjo dos nós); por exemplo, sob a mudança x=m+t um termo cúbico torna-se ímpar e sua integral sobre [-h,h] é zero, o que garante exatidão para x^{3}.

Resposta

\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx S_{2}(f)=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

Exercícios relacionados