9 Dedução de fórmulas de integração numérica
Mostre em detalhes como obter a Regra do Trapézio para a integral aproximada da função
no intervalo
:
Mostre em detalhes como obter a Regra do Trapézio para a integral aproximada da função
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre em detalhes como obter a Regra do Trapézio para aproximar a integral de uma função no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos uma função
(assumimos que é suficientemente suave em ).\n - Intervalo de integração:
.\n - O objetivo é obter a fórmula aproximada
Nada mais é pedido além de mostrar como chegar nessa expressão (e, se for útil, entender o erro dessa aproximação).
Passo 2
Ideia que vou usar (explicação intuitiva, sem resolver ainda): aproximar a função
por uma reta que passa pelos pontos
e
e integrar essa reta exatamente no intervalo. Essa reta usa somente os valores
e
, o que torna a fórmula prática na prova. Agora vou construir explicitamente essa reta (polinômio de grau 1 que interpola
nos extremos) e integrar.
Passo 3
Construção do polinômio linear interpolador
que satisfaz
e
.\n
A forma mais direta é usar a forma ponto-de-inclinação da reta: a inclinação (coeficiente angular) é
A forma mais direta é usar a forma ponto-de-inclinação da reta: a inclinação (coeficiente angular) é
Portanto a reta que passa por
é
Aqui cada símbolo significa:
-
é o valor da função em . -
é a taxa de variação média de entre e . -
desloca a abscissa para que em tenhamos .
Passo 4
Agora integro
no intervalo
. Escrevo a integral e separo termos:
Integro termo a termo:
- A integral do primeiro termo constante é
- A integral do segundo termo é
Calculo
. Faço a substituição simples
, então
vai de
a
, e
Substituindo de volta:
Passo 5
Somando os dois resultados (do passo anterior) para obter a integral do interpolador:
Faço a fatoração por
:
Pronto: a integral da reta interpoladora é exatamente a expressão da Regra do Trapézio de uma subintervalo (também chamada de regra do trapézio simples).
Passo 6
Conclusão de procedimento: como a aproximação consiste em substituir
por
(a reta interpoladora) e integrar exatamente
, obtemos a fórmula desejada:
Passo 7
(Complemento didático: erro da aproximação e interpretação) É importante saber quão boa é essa aproximação. Para uma função duas vezes diferenciável em
existe um ponto
tal que o erro exato
satisfaz
Como isso se obtém, em linhas gerais:
- A fórmula do resto da interpolação de grau 1 diz que, para cada
, existe com
- Integro ambos os lados em
de até . A integral de é
- Substituindo e simplificando obtem-se a forma do erro com algum
:
Daí a estimativa de módulo:
Isso mostra que a regra do trapézio é de ordem
no erro local — ou seja, o erro diminui como
quando o intervalo fica pequeno.
Passo 8
Exemplo rápido (para fixar): se
em
então
. A regra do trapézio dá
erro
. A fórmula do erro com
prediz
que coincide exatamente. Isso confirma a derivação do erro.