9 Dedução de fórmulas de integração numérica
Mostre em detalhes como obter a Regra do Trapézio para a integral aproximada da função f(x) no intervalo [a, b] :
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx T_{1}(f)=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right] .

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre em detalhes como obter a Regra do Trapézio para aproximar a integral de uma função no intervalo [a,b].\n
Informações dadas:
  • Temos uma função f(x) (assumimos que é suficientemente suave em [a,b]).\n
  • Intervalo de integração: [a,b].\n
  • O objetivo é obter a fórmula aproximada
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx T_{1}(f) = (b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right].
Nada mais é pedido além de mostrar como chegar nessa expressão (e, se for útil, entender o erro dessa aproximação).

Passo 2

Ideia que vou usar (explicação intuitiva, sem resolver ainda): aproximar a função f por uma reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e integrar essa reta exatamente no intervalo. Essa reta usa somente os valores f(a) e f(b), o que torna a fórmula prática na prova. Agora vou construir explicitamente essa reta (polinômio de grau 1 que interpola f nos extremos) e integrar.

Passo 3

Construção do polinômio linear interpolador p(x) que satisfaz p(a)=f(a) e p(b)=f(b).\n
A forma mais direta é usar a forma ponto-de-inclinação da reta: a inclinação (coeficiente angular) é
\text{slope} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Portanto a reta que passa por x=a é
p(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Aqui cada símbolo significa:
  • f(a) é o valor da função em x=a.
  • \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} é a taxa de variação média de f entre a e b.
  • (x-a) desloca a abscissa para que em x=a tenhamos p(a)=f(a).

Passo 4

Agora integro p(x) no intervalo [a,b]. Escrevo a integral e separo termos:
\int_{a}^{b} p(x)\,dx = \int_{a}^{b} \left[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right] dx.
Integro termo a termo:
  • A integral do primeiro termo constante é
\int_{a}^{b} f(a)\,dx = f(a)\,(b-a).
  • A integral do segundo termo é
\int_{a}^{b} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\,dx = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\;\int_{a}^{b} (x-a)\,dx.
Calculo \int_{a}^{b} (x-a)\,dx. Faço a substituição simples t=x-a, então t vai de 0 a b-a, e
\int_{a}^{b} (x-a)\,dx = \int_{0}^{\,b-a} t\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{\,b-a} = \frac{(b-a)^{2}}{2}.
Substituindo de volta:
\int_{a}^{b} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\,dx = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot \frac{(b-a)^{2}}{2} = \frac{(b-a)}{2}\bigl(f(b)-f(a)\bigr).

Passo 5

Somando os dois resultados (do passo anterior) para obter a integral do interpolador:
\int_{a}^{b} p(x)\,dx = f(a)(b-a) + \frac{(b-a)}{2}\bigl(f(b)-f(a)\bigr).
Faço a fatoração por (b-a):
\int_{a}^{b} p(x)\,dx = (b-a)\left[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{2}\right] = (b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right].
Pronto: a integral da reta interpoladora é exatamente a expressão da Regra do Trapézio de uma subintervalo (também chamada de regra do trapézio simples).

Passo 6

Conclusão de procedimento: como a aproximação consiste em substituir f por p (a reta interpoladora) e integrar exatamente p, obtemos a fórmula desejada:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx T_{1}(f) = (b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right].

Passo 7

(Complemento didático: erro da aproximação e interpretação) É importante saber quão boa é essa aproximação. Para uma função duas vezes diferenciável em [a,b] existe um ponto \xi\in(a,b) tal que o erro exato E satisfaz
E \equiv \int_{a}^{b} f(x)\,dx - T_{1}(f) = -\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi).
Como isso se obtém, em linhas gerais:
  • A fórmula do resto da interpolação de grau 1 diz que, para cada x\in[a,b], existe \xi_{x}\in(a,b) com
f(x)-p(x) = \frac{f''(\xi_{x})}{2}\,(x-a)(x-b).
  • Integro ambos os lados em x de a até b. A integral de (x-a)(x-b) é
\int_{a}^{b} (x-a)(x-b)\,dx = -\frac{(b-a)^{3}}{6}.
  • Substituindo e simplificando obtem-se a forma do erro com algum \xi\in(a,b):
E = \frac{1}{2}\,f''(\xi)\left(-\frac{(b-a)^{3}}{6}\right) = -\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi).
Daí a estimativa de módulo:
|E| \le \frac{(b-a)^{3}}{12}\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|.
Isso mostra que a regra do trapézio é de ordem O\bigl((b-a)^{3}\bigr) no erro local — ou seja, o erro diminui como (b-a)^{3} quando o intervalo fica pequeno.

Passo 8

Exemplo rápido (para fixar): se f(x)=x^{2} em [0,1] então \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}. A regra do trapézio dá
T_{1}(f) = (1-0)\left[\frac{f(0)+f(1)}{2}\right] = 1\cdot\frac{0+1}{2} = \frac{1}{2},
erro =\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{6}. A fórmula do erro com f''(x)=2 prediz
E = -\frac{(1-0)^{3}}{12}\cdot 2 = -\frac{1}{6},
que coincide exatamente. Isso confirma a derivação do erro.

Resposta

\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx T_{1}(f)=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right].

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