Rodrigo havia decidido comprar ações de uma empresa de Internet particularmente promissora. O preço por ação era de $100, e Rodrigo passou a registrar o preço das ações ao final de cada semana. Com as abcissas medidas em dias, os seguintes dados foram coletados:
Ao tentar analisar o que aconteceu, desejava-se estimar aproximadamente o preço da ação alguns dias antes da queda brusca. Ajuste um interpolador linear aos pontos com abcissas 7 e 14. Em seguida, adicione a esse conjunto de dados o valor correspondente a o e, separadamente, o valor correspondente a 21, a fim de obter dois interpoladores quadráticos. Avalie os três interpoladores no ponto
. Qual deles você considera mais preciso? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá os registros semanais (abscissas em dias) do preço da ação:
Pede-se:
- Ajustar um interpolador linear aos pontos com abscissas
e e avaliá-lo em . - A partir dos dois pontos
e , formar dois interpoladores quadráticos: um adicionando o ponto com abscissa (isto é, ) e outro adicionando o ponto com abscissa (isto é, ); avaliar ambos em . - Comparar os três valores obtidos para
e justificar qual é, a seu ver, mais preciso para estimar o preço alguns dias antes da queda brusca.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os três pontos usados em cada ajuste (linear:
; quadrático A:
; quadrático B:
) e o ponto onde devemos avaliar os interpoladores:
.
Passo 2
Vamos fazer o interpolador linear entre
e
e avaliá-lo em
.
Conceito rápido (aula curta): um interpolador linear entre dois pontos
e
é a reta que passa por esses pontos. A forma ponto‑inclinação é
onde a inclinação
é
Aqui
representa quanto o valor de
muda por unidade de
.
Aplicando aos pontos
e
:
A reta é, tomando
,
Agora avaliamos em
:
Colocando em forma racional/imprópria:
Em forma decimal (usando vírgula conforme pedido):
Passo 3
Agora construímos o interpolador quadrático usando os pontos
e o avaliamos em
.
Método (aula): uma forma prática e direta de obter o polinômio de grau
que passa por três pontos é usar a fórmula de Lagrange. Para três pontos
o polinômio é
onde cada base de Lagrange
anula-se nos outros dois nós e vale
em
. Especificamente,
Isso garante interpolação exata nos três nós.
Para
,
,
temos os denominadores:
Assim,
Avaliamo-los em
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora o valor interpolado:
Substituindo as frações (todas com denominador
para facilitar):
Em forma decimal:
Passo 4
Agora construímos o interpolador quadrático pelos pontos
e avaliamos em
.
Usamos novamente Lagrange. Denominadores para
:
As bases ficam:
Avalie em
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora o valor interpolado:
Com denominador
:
Em decimal:
Passo 5
Comparando os três valores obtidos em
:
- Interpolador linear entre
e : . - Interpolador quadrático com
: . - Interpolador quadrático com
: .
Justificativa de precisão (explicação didática e decisão): queremos estimar o preço “alguns dias antes da queda brusca”. O ponto
está antes da queda que aparece entre
e
; portanto, incluir dados posteriores à queda (como
) pode introduzir um efeito de curvatura que representa a nova tendência pós‑queda e, assim, distorcer a estimativa para antes da queda. O interpolador quadrático que usa
incorpora o valor muito baixo em
, forçando a parábola a descer rapidamente após
, o que altera o comportamento da curva também para
e resulta num valor mais alto (
) — este é artefato do ajuste que mistura regimes distintos (pré‑queda e pós‑queda).
Entre os interpoladores que só usam dados pré‑queda, a linear e a quadrática com
produzem valores próximos entre si (
e
), e ambos respeitam a tendência observada antes da queda. O polinômio quadrático com nós todos antes da queda aproveita mais informação histórica (inclui
) e pode captar uma leve curvatura presente nos três pontos pré‑queda, por isso eu considero o interpolador quadrático formado por
o mais apropriado/preciso para estimar o preço em
.