Rodrigo havia decidido comprar ações de uma empresa de Internet particularmente promissora. O preço por ação era de $100, e Rodrigo passou a registrar o preço das ações ao final de cada semana. Com as abcissas medidas em dias, os seguintes dados foram coletados:
(0,100),(7,98),(14,101),(21,50),(28,51),(35,50)
Ao tentar analisar o que aconteceu, desejava-se estimar aproximadamente o preço da ação alguns dias antes da queda brusca. Ajuste um interpolador linear aos pontos com abcissas 7 e 14. Em seguida, adicione a esse conjunto de dados o valor correspondente a o e, separadamente, o valor correspondente a 21, a fim de obter dois interpoladores quadráticos. Avalie os três interpoladores no ponto x=12. Qual deles você considera mais preciso? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá os registros semanais (abscissas em dias) do preço da ação:
(0,100),\;(7,98),\;(14,101),\;(21,50),\;(28,51),\;(35,50).
Pede-se:
  1. Ajustar um interpolador linear aos pontos com abscissas \,7 e \,14 e avaliá-lo em \,x=12.
  2. A partir dos dois pontos (7,98) e (14,101), formar dois interpoladores quadráticos: um adicionando o ponto com abscissa \,0 (isto é, (0,100)) e outro adicionando o ponto com abscissa \,21 (isto é, (21,50)); avaliar ambos em \,x=12.
  3. Comparar os três valores obtidos para \,x=12 e justificar qual é, a seu ver, mais preciso para estimar o preço alguns dias antes da queda brusca.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os três pontos usados em cada ajuste (linear: (7,98),(14,101); quadrático A: (0,100),(7,98),(14,101); quadrático B: (7,98),(14,101),(21,50)) e o ponto onde devemos avaliar os interpoladores: \,x=12.

Passo 2

Vamos fazer o interpolador linear entre (7,98) e (14,101) e avaliá-lo em \,x=12.
Conceito rápido (aula curta): um interpolador linear entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é a reta que passa por esses pontos. A forma ponto‑inclinação é
y = y_1 + m(x-x_1),
onde a inclinação m é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m representa quanto o valor de y muda por unidade de x.
Aplicando aos pontos (7,98) e (14,101):
m=\frac{101-98}{14-7}=\frac{3}{7}.
A reta é, tomando x_1=7,y_1=98,
y=98+\frac{3}{7}(x-7).
Agora avaliamos em x=12:
y(12)=98+\frac{3}{7}(12-7)=98+\frac{3}{7}\cdot 5=98+\frac{15}{7}.
Colocando em forma racional/imprópria:
98+\frac{15}{7}=\frac{686}{7}+\frac{15}{7}=\frac{701}{7}.
Em forma decimal (usando vírgula conforme pedido):
\frac{701}{7}\approx100,142857\ldots

Passo 3

Agora construímos o interpolador quadrático usando os pontos (0,100),(7,98),(14,101) e o avaliamos em \,x=12.
Método (aula): uma forma prática e direta de obter o polinômio de grau \le2 que passa por três pontos é usar a fórmula de Lagrange. Para três pontos (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) o polinômio é
P(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x),
onde cada base de Lagrange L_i(x) anula-se nos outros dois nós e vale 1 em x_i. Especificamente,
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\quad L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\quad L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Isso garante interpolação exata nos três nós.
Para (x_0,y_0)=(0,100), (x_1,y_1)=(7,98), (x_2,y_2)=(14,101) temos os denominadores:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(0-7)(0-14)=98,
(x_1-x_0)(x_1-x_2)=7\cdot(-7)=-49,
(x_2-x_0)(x_2-x_1)=14\cdot7=98.
Assim,
L_0(x)=\frac{(x-7)(x-14)}{98},\quad L_1(x)=-\frac{x(x-14)}{49},\quad L_2(x)=\frac{x(x-7)}{98}.
Avaliamo-los em x=12:
Calcule L_0(12):
L_0(12)=\frac{(12-7)(12-14)}{98}=\frac{5\cdot(-2)}{98}=-\frac{10}{98}=-\frac{5}{49}.
Calcule L_1(12):
L_1(12)=-\frac{12(12-14)}{49}=-\frac{12\cdot(-2)}{49}=\frac{24}{49}.
Calcule L_2(12):
L_2(12)=\frac{12(12-7)}{98}=\frac{12\cdot 5}{98}=\frac{60}{98}=\frac{30}{49}.
Agora o valor interpolado:
P(12)=100\cdot L_0(12)+98\cdot L_1(12)+101\cdot L_2(12).
Substituindo as frações (todas com denominador 49 para facilitar):
100\cdot\left(-\frac{5}{49}\right)+98\cdot\frac{24}{49}+101\cdot\frac{30}{49} =\frac{-500+2352+3030}{49}=\frac{4882}{49}.
Em forma decimal:
\frac{4882}{49}\approx99,632653\ldots

Passo 4

Agora construímos o interpolador quadrático pelos pontos (7,98),(14,101),(21,50) e avaliamos em \,x=12.
Usamos novamente Lagrange. Denominadores para x_0=7,x_1=14,x_2=21:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)= (7-14)(7-21)=(-7)(-14)=98,
(x_1-x_0)(x_1-x_2)= (14-7)(14-21)=7\cdot(-7)=-49,
(x_2-x_0)(x_2-x_1)= (21-7)(21-14)=14\cdot7=98.
As bases ficam:
L_0(x)=\frac{(x-14)(x-21)}{98},\quad L_1(x)=-\frac{(x-7)(x-21)}{49},\quad L_2(x)=\frac{(x-7)(x-14)}{98}.
Avalie em x=12:
Calcule L_0(12):
L_0(12)=\frac{(12-14)(12-21)}{98}=\frac{(-2)(-9)}{98}=\frac{18}{98}=\frac{9}{49}.
Calcule L_1(12):
L_1(12)=-\frac{(12-7)(12-21)}{49}=-\frac{5\cdot(-9)}{49}=\frac{45}{49}.
Calcule L_2(12):
L_2(12)=\frac{(12-7)(12-14)}{98}=\frac{5\cdot(-2)}{98}=-\frac{10}{98}=-\frac{5}{49}.
Agora o valor interpolado:
Q(12)=98\cdot L_0(12)+101\cdot L_1(12)+50\cdot L_2(12).
Com denominador 49:
98\cdot\frac{9}{49}+101\cdot\frac{45}{49}+50\cdot\left(-\frac{5}{49}\right) =\frac{882+4545-250}{49}=\frac{5177}{49}.
Em decimal:
\frac{5177}{49}\approx105,653061\ldots

Passo 5

Comparando os três valores obtidos em x=12:
  • Interpolador linear entre (7,98) e (14,101): \,y(12)=\dfrac{701}{7}\approx100,142857.
  • Interpolador quadrático com (0,100),(7,98),(14,101): \,y(12)=\dfrac{4882}{49}\approx99,632653.
  • Interpolador quadrático com (7,98),(14,101),(21,50): \,y(12)=\dfrac{5177}{49}\approx105,653061.
Justificativa de precisão (explicação didática e decisão): queremos estimar o preço “alguns dias antes da queda brusca”. O ponto \,x=12 está antes da queda que aparece entre \,x=14 e \,x=21; portanto, incluir dados posteriores à queda (como (21,50)) pode introduzir um efeito de curvatura que representa a nova tendência pós‑queda e, assim, distorcer a estimativa para antes da queda. O interpolador quadrático que usa (7,14,21) incorpora o valor muito baixo em \,x=21, forçando a parábola a descer rapidamente após 14, o que altera o comportamento da curva também para x=12 e resulta num valor mais alto ( \approx105{,}65) — este é artefato do ajuste que mistura regimes distintos (pré‑queda e pós‑queda).
Entre os interpoladores que só usam dados pré‑queda, a linear e a quadrática com (0,7,14) produzem valores próximos entre si ( \approx100{,}14 e \approx99{,}63), e ambos respeitam a tendência observada antes da queda. O polinômio quadrático com nós todos antes da queda aproveita mais informação histórica (inclui x=0) e pode captar uma leve curvatura presente nos três pontos pré‑queda, por isso eu considero o interpolador quadrático formado por (0,100),(7,98),(14,101) o mais apropriado/preciso para estimar o preço em x=12.

Resposta

Interpolador linear (pontos (7,98),(14,101)) em x=12: \dfrac{701}{7}\approx100,142857\n
Interpolador quadrático com (0,100),(7,98),(14,101) em x=12: \dfrac{4882}{49}\approx99,632653\n
Interpolador quadrático com (7,98),(14,101),(21,50) em x=12: \dfrac{5177}{49}\approx105,653061\n
Mais preciso (justificativa na solução): o quadrático baseado em (0,100),(7,98),(14,101).

Exercícios relacionados