Deduza a equação da continuidade a partir de um balanço de massa diferencial em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a equação da continuidade em coordenadas cartesianas a partir de um balanço diferencial de massa. O conteúdo envolvido é conservação de massa em mecânica dos fluidos, e vamos usar um volume de controle infinitesimal e o conceito de fluxo de massa através de suas faces.
Passo 2
Considere um elemento de volume diferencial cujas arestas têm comprimento \mathrm{d}x, \mathrm{d}y e \mathrm{d}z. A massa dentro desse elemento, no instante t, é
m = \rho(x,y,z,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z,
onde \rho é a densidade do fluido. A taxa de variação dessa massa no tempo é
respectivamente, onde u,v,w são as componentes do campo de velocidade \mathbf{u}.
Passo 5
O balanço de massa diz que a variação de massa no volume deve ser igual ao somatório dos fluxos que entram menos saem. Como calculamos os fluxos líquidos como positivos para saída, temos
Dividindo por \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z e tomando o limite em que o volume tende a zero, obtemos a forma diferencial da equação da continuidade em coordenadas cartesianas: