Deduza a equação da continuidade a partir de um balanço de massa diferencial em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a equação da continuidade em coordenadas cartesianas a partir de um balanço diferencial de massa. O conteúdo envolvido é conservação de massa em mecânica dos fluidos, e vamos usar um volume de controle infinitesimal e o conceito de fluxo de massa através de suas faces.

Passo 2

Considere um elemento de volume diferencial cujas arestas têm comprimento \mathrm{d}x, \mathrm{d}y e \mathrm{d}z. A massa dentro desse elemento, no instante t, é
m = \rho(x,y,z,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z,
onde \rho é a densidade do fluido. A taxa de variação dessa massa no tempo é
\frac{\partial m}{\partial t} = \frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.

Passo 3

Agora calculemos o fluxo de massa na direção x. A massa que entra pela face em x por unidade de tempo é
(\rho u)\bigl|_{x}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z,
enquanto a massa que sai pela face em x+\mathrm{d}x é, por aproximação de Taylor,
(\rho u)\bigl|_{x+\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \approx \bigl(\rho u + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\,\mathrm{d}x\bigr)\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
O fluxo líquido para fora no eixo x é
\bigl[(\rho u)\bigl|_{x+\mathrm{d}x} - (\rho u)\bigl|_{x}\bigr]\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \approx \frac{\partial(\rho u)}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.

Passo 4

De modo análogo, nas direções y e z obtemos fluxos líquidos
\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \quad\text{e}\quad \frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z,
respectivamente, onde u,v,w são as componentes do campo de velocidade \mathbf{u}.

Passo 5

O balanço de massa diz que a variação de massa no volume deve ser igual ao somatório dos fluxos que entram menos saem. Como calculamos os fluxos líquidos como positivos para saída, temos
\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z + \Bigl[\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\Bigr]\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = 0.

Passo 6

Dividindo por \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z e tomando o limite em que o volume tende a zero, obtemos a forma diferencial da equação da continuidade em coordenadas cartesianas:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} = 0.

Resposta

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} = 0.

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