As equações nos exercícios 1-11 a seguir são superfícies. Para cada uma delas
(i) identifique a superfície,
(ii) estude e esboce em vários planos xOy, os traços com os planos coordenados,
(iii) estude e indique como são os traços com os planos paralelos aos planos coordenados, (iv) esboçe a superfície no espaço tridimensional num sistema Oxyz.
x^2+y^2=9

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
x^2+y^2=9
e pede: (i) identificação da superfície, (ii) traços com os planos coordenados, (iii) traços em planos paralelos aos coordenados e (iv) esboço 3D. Vamos usar conceitos de curvas no plano xy que se repetem em z.

Passo 2

Note que a equação não envolve z. No plano xy, x^2+y^2=9 é um círculo de raio 3 centrado na origem. Como a equação vale para qualquer z, esse círculo “se extrude” ao longo do eixo z, formando um cilindro circular reto de raio 3 cujo eixo é paralelo a Oz.

Passo 3

Traços com os planos coordenados:
– Plano z=0: fica
x^2+y^2=9,
um círculo de raio 3 no plano xy.
– Plano x=0: a equação vira
y^2=9,
ou seja, y=pm 3 com z livre. São duas retas paralelas ao eixo z, sobre as linhas (0,3,z) e (0,-3,z).
– Plano y=0: a equação vira
x^2=9,
ou seja, x=pm 3 com z livre. São duas retas paralelas ao eixo z nas linhas (3,0,z) e (-3,0,z).

Passo 4

Traços em planos paralelos aos coordenados:
– Planos z=c: para qualquer c,
x^2+y^2=9,
ou seja, sempre o mesmo círculo de raio 3.
– Planos x=c: se lvert crvert<=3,
y^2=9-c^2Rightarrow y=pmraiz9-c^2,
duas retas paralelas a Oz; se lvert crvert>3, não há interseção.
– Planos y=c: análogo aos planos x=c: para lvert crvert<=3 são as retas x=pmraiz9-c^2 paralelas a Oz; caso contrário, vazio.

Passo 5

Para esboçar em 3D, imagine um tubo reto de raio 3 cujo eixo é o eixo z. Em cada plano horizontal z=const temos um círculo de raio 3, e nas direções x ou y fixas aparecem retas paralelas a z.

Resposta

A superfície é um cilindro circular reto de raio 3 com eixo paralelo ao eixo z.

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