Escreva a equação paramétrica da curva dada pela interseção das superfícies: z=x^2+y^2 e x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

Temos duas superfícies: o paraboloide z=x^2+y^2 e a esfera x^2+y^2+z^2=1. A interseção é uma curva plana, então vamos usar coordenadas polares no plano xy:
x = rcos t, y = rsin t, z = x^2+y^2=r^2

Passo 2

Substituindo z=r^2 na equação da esfera x^2+y^2+z^2=1, obtemos
r^2 + l(r^2r)^2 = 1

Passo 3

Seja u = r^2. Então a equação vira
u + u^2 = 1
ou
u^2 + u - 1 = 0
Daí, usando a fórmula de Bhaskara e escolhendo a raiz positiva,
u = -1 + raiz52
Logo
r = raizu = raizraiz5-12, z = u = raiz5-12

Passo 4

Substituindo esse valor de r na parametrização polar, a curva de interseção fica
x = raizraiz5-12cos t
y = raizraiz5-12sin t
z = raiz5-12
com 0 <= t < 2pi.

Resposta

x(t)=raizraiz5-12cos t, y(t)=raizraiz5-12sin t, z(t)=raiz5-12, 0<= t<2pi

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