Deduza uma equação da pressão parcial a volume constante e sistema de reação simples.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações que vamos usar.
  • O pedido: deduzir uma equação para a pressão parcial numa situação de volume constante e um sistema de reação simples.
  • Informações / hipóteses que assumimos (porque o enunciado é curto e essas hipóteses são as usuais para esta dedução): temperatura constante (isotérmico), comportamento ideal dos gases, volume total do recipiente constante e conhecido.
  • Quantidades iniciais: para cada espécie química i temos o número de mol inicial \(n_{i0}).
  • Estabelecemos a variável de reação (extensão de reação) \(\xi) para relacionar variações de mols por estequiometria.
  • A dedução deve expressar a pressão parcial \(p_i) em função de \(\xi) (e das outras grandezas como R,T,V,n_{i0} e os coeficientes estequiométricos).
    Nada mais será assumido além disso.

Passo 2

Definimos a reação e os coeficientes estequiométricos.
  • Escrevemos a reação genérica como
\sum_i \nu_i \, X_i = 0
onde \(X_i) é a espécie i e \(\nu_i) é o coeficiente estequiométrico algebraico: por convenção usual tomamos \(\nu_i>0) para produtos e \(\nu_i<0) para reagentes.
  • Exemplo simbólico: para a reação \(aA + bB \rightleftharpoons cC + dD) teríamos \(\nu_A=-a,\; \nu_B=-b,\; \nu_C=+c,\; \nu_D=+d).

Passo 3

Explicamos a extensão de reação \(\xi) e como ela altera o número de mols de cada espécie.
  • A extensão de reação \(\xi) é uma variável que mede “quanto” de reação ocorreu. Quando a reação avança de \(\xi) unidades, o número de mols da espécie i muda em \(\nu_i \xi).
  • Portanto o número de mols da espécie i no instante considerado é
n_i = n_{i0} + \nu_i\,\xi,
onde \(n_{i0}) é o número de mol inicial de i.
  • Observação prática: se \(\nu_i<0) (reagente), o termo \(\nu_i\xi) diminui o número de mols quando \(\xi>0); se \(\nu_i>0) (produto), aumenta.

Passo 4

Recordamos a lei dos gases ideais e a definição de pressão parcial.
  • A lei dos gases ideais para uma amostra pura é
pV = nRT,
onde \(p) é a pressão, \(V) o volume, \(n) o número de mols, \(R) a constante universal dos gases e \(T) a temperatura.
  • Para uma mistura ideal de gases, a pressão parcial da espécie i é a pressão que essa espécie exerceria se ocupasse sozinha o volume V à mesma T. Logo, aplicando a lei dos gases ao componente i com n_i mols:
p_i = \frac{n_i\,R\,T}{V}.
  • Também vale a lei de Dalton: a pressão total é a soma das pressões parciais, P=\sum_i p_i.

Passo 5

Substituímos a expressão de n_i (do Passo 3) na expressão da pressão parcial (do Passo 4).
  • Pegando
n_i = n_{i0} + \nu_i\,\xi
e inserindo em
p_i = \frac{n_i\,R\,T}{V},
obtém-se diretamente a equação desejada:
\boxed{\,p_i(\xi)=\frac{\bigl(n_{i0}+\nu_i\,\xi\bigr)\,R\,T}{V}\,}.
  • Aqui cada símbolo significa: \(p_i(\xi)) pressão parcial da espécie i quando a extensão de reação vale \(\xi), \(n_{i0}) mols iniciais de i, \(\nu_i) coeficiente estequiométrico algébrico, \(R) constante dos gases, \(T) temperatura absoluta e \(V) volume constante do sistema.

Passo 6

Mostramos formas equivalentes e a pressão total.
  • O número total de mols na mistura é
n_{\text{tot}}(\xi)=\sum_i n_i = \sum_i \bigl(n_{i0}+\nu_i\,\xi\bigr)=\left(\sum_i n_{i0}\right)+\left(\sum_i \nu_i\right)\xi.
  • A pressão total vale então
P(\xi)=\frac{n_{\text{tot}}(\xi)\,R\,T}{V}=\frac{\bigl(\sum_i n_{i0} + (\sum_i \nu_i)\,\xi\bigr)\,R\,T}{V}.
  • A fração molar de i é
y_i(\xi)=\frac{n_i}{n_{\text{tot}}}=\frac{n_{i0}+\nu_i\xi}{\sum_j n_{j0}+(\sum_j \nu_j)\xi},
e portanto também se pode escrever
p_i(\xi)=y_i(\xi)\,P(\xi).

Passo 7

Discussão de casos especiais e interpretação prática (ajuda para a prova).
  • Se \(\sum_i \nu_i = 0) (o número total de mols não muda com a reação), a pressão total P é constante (se V e T são constantes) e então p_i(\xi) varia apenas pelas mudanças relativas de n_i. Nesse caso uma forma útil é
p_i(\xi)=\frac{(n_{i0}+\nu_i\xi)\,R\,T}{V}\quad\text{com}\quad P=\frac{\bigl(\sum_i n_{i0}\bigr)RT}{V}\\ (\text{constante}).
  • Se \(\sum_i \nu_i \neq 0), a pressão total varia com \xi e isso influencia todas as pressões parciais. Em provas, atenção para o sinal de \nu_i (negativo para reagentes), e para usar unidades consistentes (mols, R em \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} ou \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, V em litros ou metros cúbicos, T em kelvin).

Passo 8

Exemplo rápido (para fixar a ideia).
  • Considere \(A \rightleftharpoons 2B). Aqui \(\nu_A=-1,\; \nu_B=+2). Se n_{A0}=1 mol e n_{B0}=0 mol, então
n_A = 1 - \xi,\qquad n_B = 0 + 2\xi.
  • As pressões parciais (a T e V constantes) são
p_A(\xi)=\frac{(1-\xi)RT}{V},\qquad p_B(\xi)=\frac{(2\xi)RT}{V}.
  • Isso mostra na prática como a extensão \xi desloca mols entre espécies e altera as pressões parciais.

Resposta

p_i(\xi)=\dfrac{\bigl(n_{i0}+\nu_i\,\xi\bigr)\,R\,T}{V}
P(\xi)=\dfrac{\left(\sum_i n_{i0} + \bigl(\sum_i \nu_i\bigr)\,\xi\right)\,R\,T}{V}

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