Um motor de foguete, queima uma mistura estequiométrica de combustível ( \mathrm{H}_{2} líquido) em um oxidante ( \mathrm{O}_{2} líquido). A câmara de combustão é cilíndrica com 75 cm de comprimento e 60 cm de diâmetro. O processo de combustão produz 108 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de gases de exaustão. Se a combustão for completa, encontre as taxas de reação do \mathrm{H}_{2} e do \mathrm{O}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A câmara de combustão é cilíndrica com comprimento 75\\ \mathrm{cm} e diâmetro 60\\ \mathrm{cm}.
  • A mistura queima de forma estequiométrica e a combustão é completa.
  • A taxa de produção de gases de exaustão (massa total dos produtos) é \dot m_{\text{prod}} = 108\\ \mathrm{kg/s}.
  • A reação química principal entre o combustível e o oxidante é a formação de água a partir de hidrogênio e oxigênio gasosos.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar as taxas de reação do \mathrm{H}_2 e do \mathrm{O}_2. (Aqui vamos interpretar “taxas de reação” como as taxas de consumo desses reagentes em massa \mathrm{(kg/s)} e também mostrar as taxas molares \mathrm{(mol/s)}.)

Passo 2

Escrevendo a reação balanceada e o conceito de estequiometria (a parte teórica, explicada devagar):
  • A reação balanceada da combustão completa do hidrogênio é
2\,\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
Isto significa que, em termos de mols, para cada 2 mol de \mathrm{H}_2 consumidos consome-se 1 mol de \mathrm{O}_2 e produzem-se 2 mol de \mathrm{H}_2\mathrm{O}.
  • Molaridades e massas molares: a massa total é conservada. Para converter entre massa e quantidade de matéria (mols) usamos a massa molar M (massa de 1 mol de substância). Valores que vamos usar:
M_{\mathrm{H}_2}=2{,}016\\ \mathrm{g/mol},\qquad M_{\mathrm{O}_2}=32{,}00\\ \mathrm{g/mol},\qquad M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}=18{,}016\\ \mathrm{g/mol}.
(Para trabalhar em \mathrm{kg}, lembre que 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}.)

Passo 3

Calcular as massas participantes por “unidade estequiométrica” da reação (uma unidade aqui = reagir 2 mol de \mathrm{H}_2 e 1 mol de \mathrm{O}_2):
  • Massa de 2 mol de \mathrm{H}_2:
m_{ \mathrm{H}_2,\text{per unit}} = 2\cdot M_{\mathrm{H}_2} = 2\cdot 2{,}016\\ \mathrm{g} = 4{,}032\\ \mathrm{g}.
  • Massa de 1 mol de \mathrm{O}_2:
m_{ \mathrm{O}_2,\text{per unit}} = 1\cdot M_{\mathrm{O}_2} = 32{,}00\\ \mathrm{g}.
  • Massa total dos reagentes por essa unidade:
m_{\text{total,per unit}} = 4{,}032 + 32{,}00 = 36{,}032\\ \mathrm{g}.
Note que isso equivale à massa de 2 mol de \mathrm{H}_2\mathrm{O}, confirmando conservação de massa:
2\cdot M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} = 2\cdot 18{,}016 = 36{,}032\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Encontrar as frações de massa dos reagentes na mistura estequiométrica (por unidade):
  • Fração de massa do \mathrm{H}_2:
f_{\mathrm{H}_2}=\frac{4{,}032}{36{,}032}\approx 0{,}1119.
  • Fração de massa do \mathrm{O}_2:
f_{\mathrm{O}_2}=\frac{32{,}00}{36{,}032}\approx 0{,}8881.
Essas frações dizem que, da massa total dos produtos (que é igual à massa total dos reagentes por conservação), aproximadamente 11{,}19\% vem do \mathrm{H}_2 e 88{,}81\% vem do \mathrm{O}_2.

Passo 5

Calcular as taxas de consumo em massa ( \mathrm{kg/s}) usando as frações e a taxa total de produtos \dot m_{\text{prod}}=108\\ \mathrm{kg/s}:
  • Taxa de consumo de \mathrm{H}_2 (massa):
\dot m_{\mathrm{H}_2} = \dot m_{\text{prod}}\cdot f_{\mathrm{H}_2} =108\cdot\frac{4{,}032}{36{,}032} =\frac{108\cdot 4{,}032}{36{,}032} \approx 12{,}0852\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando de forma prática para a prova, \dot m_{\mathrm{H}_2}\approx 12{,}09\\ \mathrm{kg/s}.
  • Taxa de consumo de \mathrm{O}_2 (massa), usando complemento:
\dot m_{\mathrm{O}_2} = \dot m_{\text{prod}} - \dot m_{\mathrm{H}_2} =108 - 12{,}0852 \approx 95{,}9148\\ \mathrm{kg/s},
ou diretamente
\dot m_{\mathrm{O}_2}=108\cdot\frac{32{,}00}{36{,}032}\approx 95{,}9148\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando: \dot m_{\mathrm{O}_2}\approx 95{,}91\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Converter para taxas molares ( \mathrm{mol/s}), que às vezes são pedidas em problemas estequiométricos:
  • Para o \mathrm{H}_2:
\dot n_{\mathrm{H}_2}=\frac{\dot m_{\mathrm{H}_2}}{M_{\mathrm{H}_2}}=\frac{12{,}0852\\ \mathrm{kg/s}}{0{,}002016\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 5\,994{,}6\\ \mathrm{mol/s}.
(Usamos M_{\mathrm{H}_2}=2{,}016\\ \mathrm{g/mol}=0{,}002016\\ \mathrm{kg/mol}.)
  • Para o \mathrm{O}_2:
\dot n_{\mathrm{O}_2}=\frac{\dot m_{\mathrm{O}_2}}{M_{\mathrm{O}_2}}=\frac{95{,}9148\\ \mathrm{kg/s}}{0{,}032\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 2\,997{,}3\\ \mathrm{mol/s}.
Observe que \dot n_{\mathrm{H}_2} é aproximadamente o dobro de \dot n_{\mathrm{O}_2}, como era de esperar pela estequiometria 2\,\mathrm{H}_2:\,1\,\mathrm{O}_2.

Passo 7

Como a câmara foi dada no enunciado, vou também calcular a taxa de consumo por unidade de volume da câmara (caso queira comparar intensidades de reação):
  • Volume da câmara (cilindro): comprimento L=75\\ \mathrm{cm}=0{,}75\\ \mathrm{m}, raio r=60/2\\ \mathrm{cm}=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
V=\pi r^2 L=\pi(0{,}30)^2(0{,}75)\approx 0{,}21206\\ \mathrm{m}^3.
  • Taxas por volume:
\frac{\dot m_{\mathrm{H}_2}}{V}\approx\frac{12{,}0852}{0{,}21206}\approx 56{,}98\\ \mathrm{kg/(s\cdot m^3)}, \qquad \frac{\dot m_{\mathrm{O}_2}}{V}\approx\frac{95{,}9148}{0{,}21206}\approx 452{,}67\\ \mathrm{kg/(s\cdot m^3)}.

Resposta

\dot m_{\mathrm{H}_2}=12{,}09\\ \mathrm{kg/s}\quad(\dot n_{\mathrm{H}_2}=5\,994{,}6\\ \mathrm{mol/s})\n
\dot m_{\mathrm{O}_2}=95{,}91\\ \mathrm{kg/s}\quad(\dot n_{\mathrm{O}_2}=2\,997{,}3\\ \mathrm{mol/s})

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