Deduza as equações abaixo:
TV^gamma-1= constante PV^gamma= constante T^gamma P^1-gamma= constante
Sendo gamma=CM, PCM, V

Passo 1

O enunciado pede para deduzir as três formas das equações adiabáticas de um gás ideal em que não há troca de calor ( de<a Q=0). O que vamos usar: a Primeira Lei da Termodinâmica para processos adiabáticos, a relação interna de energia dU=CM,V,dT e a equação de estado dos gases ideais P,V=R,T. Além disso, usaremos a definição
gamma=CM,PCM,V,,
sabendo que R=CM,P-CM,V.

Passo 2

Como é um processo adiabático, temos
de<a Q=0Longrightarrow dU+P,dV=0
Para um gás ideal monocomponente dU=CM,V,dT. Logo, substituindo em dU+P,dV=0,
CM,V,dT + P,dV=0

Passo 3

Usamos a equação de estado P,V=R,T, de onde
P=R,TV
Substituindo P em CM,V,dT + P,dV=0
CM,V,dT + R,TV,dV = 0

Passo 4

Dividindo tudo por T e reordenando,
CM,V,dTT + R,dVV = 0
Como gamma = CM,P/CM,V e R=CM,P-CM,V, segue que
RCM,V = CM,P-CM,VCM,V = gamma - 1
Portanto a equação diferencial fica
dTT + (gamma - 1),dVV = 0

Passo 5

Integramos ambos os termos:
integral dTT + (gamma - 1)integral dVV = 0 Longrightarrow ln T + (gamma - 1)ln V = constante
Exponenciando, obtemos
T,V^gamma-1 = constante

Passo 6

Para chegar em P,V^gamma= constante, usamos P=R,T/V em
T,V^gamma-1=constante Longrightarrow P,VR,V^gamma-1=constante Longrightarrow P,V^gamma=constante

Passo 7

Finalmente, para deduzir T^gamma P^1-gamma= constante, basta combinar as duas anteriores. Por exemplo, elevando T,V^gamma-1= constante a gamma e P,V^gamma= constante a (1-gamma), percebe-se que o produto leva a
T^gamma,P^1-gamma=constante

Resposta

T,V^gamma-1=constante, P,V^gamma=constante, T^gamma,P^1-gamma=constante

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