Problema 4.3. Mostre que 10^n equiv 1 bmod 9, para todo número natural n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo número natural n, temos a congruência
10^n equiv 1 pmod9
O conteúdo envolvido é aritmética modular, especificamente as propriedades de congruência e potências.

Passo 2

Primeiro observamos que
10 - 1 = 9,
portanto
10 equiv 1 pmod9

Passo 3

Usamos a propriedade fundamental de potências em congruências: se
a equiv b pmodm,
então, para todo ninN,
a^n equiv b^n pmodm
Aplicando com a=10, b=1 e m=9, obtemos
10^n equiv 1^n pmod9

Passo 4

Como 1^n = 1 para todo n, concluímos que
10^n equiv 1 pmod9
para todo ninN.

Resposta

Fica demonstrado que 10^n equiv 1 bmod 9 para todo número natural n.

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