Deduza a expressão para o batimento de duas ondas senoidais:
Y_{1(x, t)}=Y m * \cos \left[\omega_{1} t\right] e Y_{2(x, t)}=Y m * \cos \left[\omega_{2} t\right] onde \omega_{1} e \omega_{2} tem valores muito próximos. Explique com suas palavras o que é o batimento.
Obs: A expressão deve ser calculada explicitamente e fisicamente justificada

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais de mesma amplitude Y_{m} e frequências angulares muito próximas,
Y_{1}(t)=Y_{m}\cos\bigl(\omega_{1}t\bigr), \quad Y_{2}(t)=Y_{m}\cos\bigl(\omega_{2}t\bigr),
e pede a expressão do batimento resultante quando essas duas ondas se somam.
O conteúdo usado será superposição de ondas e a identidade trigonométrica de soma de cossenos.

Passo 2

Escrevemos a soma das duas ondas como
Y(t)=Y_{1}(t)+Y_{2}(t) =Y_{m}\cos\bigl(\omega_{1}t\bigr)+Y_{m}\cos\bigl(\omega_{2}t\bigr).

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica
\cos A + \cos B = 2\cos\!\Bigl(\tfrac{A+B}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{A-B}{2}\Bigr)
com A=\omega_{1}t e B=\omega_{2}t. Assim,
Y(t) =2Y_{m}\cos\!\Bigl(\tfrac{\omega_{1}t+\omega_{2}t}{2}\Bigr) \cos\!\Bigl(\tfrac{\omega_{1}t-\omega_{2}t}{2}\Bigr).

Passo 4

Definimos a frequência angular média
\omega = \frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}
e a meia‐diferença
\Delta\omega = \frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}.
Substituindo,
Y(t)=2Y_{m}\cos\bigl(\omega t\bigr)\cos\bigl(\Delta\omega\,t\bigr).

Passo 5

Fisicamente, o termo \cos(\omega t) representa a oscilação rápida de frequência média \omega, enquanto \cos(\Delta\omega\,t) é uma modulação lenta de amplitude, pois \Delta\omega é pequeno. Essa modulação faz a amplitude total variar entre zero e 2Y_{m} com frequência de batimento
f_{\text{bat}}=\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2\pi}.
Quando \cos(\Delta\omega\,t)=0 há interferência destrutiva (mínimo de amplitude) e quando \cos(\Delta\omega\,t)=\pm1 há interferência construtiva máxima. Esse efeito perceptível de “pulsar” da amplitude é o batimento.

Resposta

Y(t)=2Y_{m}\cos\!\Bigl(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\,t\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}\,t\Bigr).

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