A=[ll a & b c & d ]
Deduza a fórmula para a inversa A^-1 de A. Siga os passos a seguir:
i) Encontre x1, y1, x2 e y2 que satisfaça a equação matricial
[ll a & b c & d ][ll x1 & x2 y1 & y2 ]=[ll 1 & 0 0 & 1 ]
ii) Igualando as quatro entradas com as entradas correspondentes da matriz identidade obtenha quatro equações. Denote por |A|=a b-b c, esse valor é conhecido como determinante (notação: det(A) ).
iii) Suponha que |A| neq 0, o sistema terá solução? Caso sim, resolva-o e determine a fórmula A^-1.
Para finalizar, se |A|=0 a matriz A é invertível?

Passo 1

Temos a matriz A=a & b c & d. O objetivo é deduzir a fórmula de A^-1. O conteúdo envolve inversão de matriz 2×2 e determinante, e precisaremos resolver o sistema matricial A X = I2.

Passo 2

Escrevendo X=x1 & x2 y1 & y2 e impondo A X=I2, obtemos quatro equações ao igualar entradas:

Passo 3

a x1 + b y1 = 1
c x1 + d y1 = 0
a x2 + b y2 = 0
c x2 + d y2 = 1

Passo 4

Denotando o determinante de A por De<a = det(A) = ad - bc, se De<a neq 0 o sistema tem solução única pelas regras de Cramer.

Passo 5

Para resolver, aplicamos Cramer ao primeiro par:
x1 = 1cdot d - bcdot0De<a = dDe<a, y1 = acdot0 - ccdot1De<a = -cDe<a
E ao segundo par:
x2 = 0cdot d - bcdot1De<a = -bDe<a, y2 = acdot1 - ccdot0De<a = aDe<a
Logo,
A^-1 = 1De<a d & -b -c & a

Passo 6

Se De<a = 0, o sistema não tem solução única e, portanto, A não é invertível.

Resposta

A^-1 = 1ad - bcd & -b -c & a,e se ad - bc = 0, então A^-1 não existeãã

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