Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial P3 :
S=1, x^2, x^2-2

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de polinômios
,S=1,;x^2,;x^2-2 no espaço vetorial P3 e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar a definição: um conjunto é LI se a única forma de
acdot 1 ;+; bcdot x^2 ;+; ccdot (x^2-2);=;0
é a=b=c=0. Caso contrário, é LD.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual ao polinômio zero e expandimos:
acdot 1 + bcdot x^2 + c,(x^2-2) = a + b,x^2 + c,x^2 - 2c = 0
Agrupando termos, obtemos
(a - 2c) + (b + c),x^2 = 0

Passo 3

Para que esse polinômio seja o zero em todo
Esse sistema tem solução
onde obtemos uma solução não trivial .

Passo 4

Como existe combinação não trivial que anula os polinômios, o conjunto S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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