Determine se os seguintes vetores são LI ou LD no espaço vetorial
:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de polinômios
no espaço vetorial
e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar a definição: um conjunto é LI se a única forma de
é
. Caso contrário, é LD.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear igual ao polinômio zero e expandimos:
Agrupando termos, obtemos
Passo 3
Para que esse polinômio seja o zero em todo
Esse sistema tem solução
onde obtemos uma solução não trivial
.
Passo 4
Como existe combinação não trivial que anula os polinômios, o conjunto
é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.