Deduza a fórmula para o volume de um cone circular reto com h unidades de altura e a unidades de raio da base, usando um corte.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para deduzir a fórmula do volume de um cone circular reto. O cone tem uma altura de h unidades e um raio da base de a unidades. Para isso, vamos usar o método do corte, que envolve dividir o cone em fatias fininhas para facilitar o cálculo do volume total.

Passo 2

Primeiro, imagine o cone como sendo composto por várias fatias circulares empilhadas umas sobre as outras. Cada fatia tem uma espessura muito pequena, que podemos chamar de . Nosso objetivo é encontrar o volume de cada uma dessas fatias e, depois, somar todos esses volumes para obter o volume total do cone.

Passo 3

Para encontrar o volume de uma fatia, precisamos saber o raio dessa fatia em qualquer altura x medida a partir da ponta do cone. Como o cone é reto, o raio das fatias aumenta de forma linear conforme descemos de x = 0 (a ponta) até (a base).

Passo 4

Vamos estabelecer a relação entre o raio r de uma fatia em uma altura x e o raio da base a. Pela semelhança de triângulos, temos:
Resolvendo para r, fica:

Passo 5

Agora, o volume de uma fatia (cilindro fino) é dado pela área da base multiplicada pela altura (espessura ):
Substituindo r pela expressão que encontramos:

Passo 6

Para encontrar o volume total do cone, precisamos integrar desde x = 0 até :

Passo 7

Resolvendo a integral:
Simplificando:

Resposta

O volume do cone é dado por .

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