Deduza a fórmula para o volume de um cone circular reto com
unidades de altura e
unidades de raio da base, usando um corte.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para deduzir a fórmula do volume de um cone circular reto. O cone tem uma altura de
unidades e um raio da base de
unidades. Para isso, vamos usar o método do corte, que envolve dividir o cone em fatias fininhas para facilitar o cálculo do volume total.
Passo 2
Primeiro, imagine o cone como sendo composto por várias fatias circulares empilhadas umas sobre as outras. Cada fatia tem uma espessura muito pequena, que podemos chamar de
. Nosso objetivo é encontrar o volume de cada uma dessas fatias e, depois, somar todos esses volumes para obter o volume total do cone.
Passo 3
Para encontrar o volume de uma fatia, precisamos saber o raio dessa fatia em qualquer altura
medida a partir da ponta do cone. Como o cone é reto, o raio das fatias aumenta de forma linear conforme descemos de
(a ponta) até
(a base).
Passo 4
Vamos estabelecer a relação entre o raio
de uma fatia em uma altura
e o raio da base
. Pela semelhança de triângulos, temos:
Resolvendo para
, fica:
Passo 5
Agora, o volume de uma fatia (cilindro fino) é dado pela área da base multiplicada pela altura (espessura
):
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Para encontrar o volume total do cone, precisamos integrar
desde
até
:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Simplificando:
Resposta
O volume do cone é dado por
.