Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = raiz(x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o domínio e a imagem da função . Isso está dentro do conteúdo de funções de várias variáveis, mais especificamente lidando com domínio e imagem. Para resolver, vamos precisar entender as condições para que a expressão dentro da raiz seja não negativa e depois ver quais valores a função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que o valor absoluto de deve ser maior ou igual ao valor absoluto de :

Passo 4

Então, o domínio da função são todos os pares onde . Geometricamente, isso representa os pontos que estão dentro ou sobre os dois cones retos no plano , que se abrem ao longo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os valores que pode assumir. A função é uma raiz quadrada, então sempre retorna valores não negativos. Além disso,

Passo 6

O menor valor que a função pode assumir é , quando . E como não há limite superior para (considerando que pode ser muito grande), a função pode crescer indefinidamente. Portanto, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Resposta

Domínio:
Imagem:

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