Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso está dentro do conteúdo de funções de várias variáveis, mais especificamente lidando com domínio e imagem. Para resolver, vamos precisar entender as condições para que a expressão dentro da raiz seja não negativa e depois ver quais valores a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que o valor absoluto de
deve ser maior ou igual ao valor absoluto de
:
Passo 4
Então, o domínio da função são todos os pares
onde
. Geometricamente, isso representa os pontos que estão dentro ou sobre os dois cones retos no plano
, que se abrem ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, todos os valores que
pode assumir. A função é uma raiz quadrada, então sempre retorna valores não negativos. Além disso,
Passo 6
O menor valor que a função pode assumir é
, quando
. E como não há limite superior para
(considerando que
pode ser muito grande), a função pode crescer indefinidamente. Portanto, a imagem da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Resposta
Domínio:
Imagem: