Determine o domínio e imagem da função f:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, que fazem parte da matéria de Análise Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber analisar as expressões matemáticas para identificar onde a função está bem definida e quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função
, precisamos garantir que nenhum valor de
ou
faça com que a função fique indefinida, como uma divisão por zero.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da fração:
. Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre não negativo, ou seja,
. Assim,
, o que significa que o denominador nunca será zero. Portanto, não há restrições para
que possam tornar a função indefinida.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador:
. A função exponencial
está sempre bem definida para qualquer número real
, e nesse caso,
. Como
também é sempre não negativo, o termo
nunca causa problemas na definição da função.
Passo 5
Como tanto o numerador quanto o denominador estão sempre bem definidos para qualquer valor real de
e
, concluímos que o domínio da função é todo o plano
, ou seja, todos os pares ordenados
onde
e
são números reais.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída
. Nossa função é
.
Primeiro, observamos que
é sempre positivo, pois
para qualquer
. Além disso, o denominador
também é sempre positivo e pelo menos igual a 1. Portanto,
será sempre um número positivo.
Passo 7
Vamos analisar os limites dessa função:
-
Máximo valor de
: Isso ocorre quando o numerador é máximo e o denominador é mínimo. O numerador é máximo quando , pois . O denominador é mínimo quando , onde . Portanto, . -
Mínimo valor de
: O numerador se aproxima de 0 quando tende ao infinito, e o denominador cresce indefinidamente quando tende ao infinito. Assim, se aproxima de 0, mas nunca chega a ser exatamente 0.
Passo 8
Com isso, a imagem da função
é o intervalo
. Isso significa que os valores de
são todos os números reais positivos maiores que 0 e até 1, incluindo o 1.
Resposta
-
Domínio: Todos os pares
com . -
Imagem:
.