Determine o domínio e imagem da função f: f(x, y) = e^(-x^2) / (1 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função . Aqui, estamos trabalhando com funções de duas variáveis, que fazem parte da matéria de Análise Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber analisar as expressões matemáticas para identificar onde a função está bem definida e quais valores ela pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , precisamos garantir que nenhum valor de ou faça com que a função fique indefinida, como uma divisão por zero.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da fração: . Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre não negativo, ou seja, . Assim, , o que significa que o denominador nunca será zero. Portanto, não há restrições para que possam tornar a função indefinida.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador: . A função exponencial está sempre bem definida para qualquer número real , e nesse caso, . Como também é sempre não negativo, o termo nunca causa problemas na definição da função.

Passo 5

Como tanto o numerador quanto o denominador estão sempre bem definidos para qualquer valor real de e , concluímos que o domínio da função é todo o plano , ou seja, todos os pares ordenados onde e são números reais.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída . Nossa função é .
Primeiro, observamos que é sempre positivo, pois para qualquer . Além disso, o denominador também é sempre positivo e pelo menos igual a 1. Portanto, será sempre um número positivo.

Passo 7

Vamos analisar os limites dessa função:
  • Máximo valor de : Isso ocorre quando o numerador é máximo e o denominador é mínimo. O numerador é máximo quando , pois . O denominador é mínimo quando , onde . Portanto, .
  • Mínimo valor de : O numerador se aproxima de 0 quando tende ao infinito, e o denominador cresce indefinidamente quando tende ao infinito. Assim, se aproxima de 0, mas nunca chega a ser exatamente 0.

Passo 8

Com isso, a imagem da função é o intervalo . Isso significa que os valores de são todos os números reais positivos maiores que 0 e até 1, incluindo o 1.

Resposta

  • Domínio: Todos os pares com .
  • Imagem: .

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