Desenhe as curvas de nível da função
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para desenhar as curvas de nível da função
. Esse tipo de problema está relacionado a funções de duas variáveis e curvas de nível, que são como “fatia” da função em diferentes alturas. Vamos precisar entender como resolver equações com duas variáveis e manipular essas fórmulas para encontrar as curvas que a gente precisa desenhar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. As curvas de nível são os conjuntos de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Isso significa que para cada valor de
, a gente tem uma curva diferente no plano
.
Passo 3
Vamos começar substituindo a função na equação das curvas de nível:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
em termos de
(ou vice-versa), para entender como são essas curvas.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora, vamos reorganizar os termos para deixar a equação mais fácil de trabalhar:
Passo 5
Vamos completar o quadrado para simplificar a expressão. Primeiro, focamos nos termos de
:
Substituindo de volta na equação:
Agora, rearranjamos:
Passo 6
Completando o quadrado para os termos de
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 7
A equação final mostra que as curvas de nível são circunferências com centro em
e raio
. Isso significa que para cada valor de
, a gente tem uma circunferência diferente no plano.
Resposta
As curvas de nível da função
são circunferências com centro em
e raio
para cada valor constante
.