Desenhe as curvas de nível da função f f(x, y) = (x^2 - 2x + y^2) / (2y)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para desenhar as curvas de nível da função . Esse tipo de problema está relacionado a funções de duas variáveis e curvas de nível, que são como “fatia” da função em diferentes alturas. Vamos precisar entender como resolver equações com duas variáveis e manipular essas fórmulas para encontrar as curvas que a gente precisa desenhar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. As curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Isso significa que para cada valor de , a gente tem uma curva diferente no plano .

Passo 3

Vamos começar substituindo a função na equação das curvas de nível:
Nosso objetivo é resolver essa equação para em termos de (ou vice-versa), para entender como são essas curvas.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, vamos reorganizar os termos para deixar a equação mais fácil de trabalhar:

Passo 5

Vamos completar o quadrado para simplificar a expressão. Primeiro, focamos nos termos de :
Substituindo de volta na equação:
Agora, rearranjamos:

Passo 6

Completando o quadrado para os termos de :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 7

A equação final mostra que as curvas de nível são circunferências com centro em e raio . Isso significa que para cada valor de , a gente tem uma circunferência diferente no plano.

Resposta

As curvas de nível da função são circunferências com centro em e raio para cada valor constante .

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