1. Encontre a solução do problema de condução do calor
ux x=4 ut ; & 0<x<L, t>0 ux(0, t)=0, ux(L, t)=0 ; & t>0 u(x, 0)=6+4 cos (3 pi xL) ; & 0 <= x <= L

Passo 1

O enunciado fornece o problema de condução de calor
uxx=4,ut,&0<x<L,;t>0, ux(0,t)=0,;ux(L,t)=0,&t>0, u(x,0)=6+4cos!l(tfrac3pi xLr),&0<= x<= L
Vamos usar separação de variáveis e expansão em autofunções para resolver.

Passo 2

Suponha u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em uxx=4,ut obtém-se
X''(x)X(x)=4,T'(t)T(t)=-lambda
Isto gera os problemas
X''+lambda X=0, T'+lambda4T=0,
com as condições de Neumann X'(0)=X'(L)=0.

Passo 3

As autofunções e autovalores para Neumann são
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, phin(x)=cos!l(tfracnpi xLr), n=0,1,2,dots
e as componentes temporais são
Tn(t)=exp!l(-tfraclambdan4,tr) =exp!l(-tfracn^2pi^24L^2,tr)

Passo 4

A solução geral é
u(x,t)=A0+sumn=1^inftyAn exp!l(-tfracn^2pi^24L^2,tr) cos!l(tfracnpi xLr)
Os coeficientes obtêm-se pela ortogonalidade:
A0=1Lintegral0^Lu(x,0),dx, An=2Lintegral0^Lu(x,0)cos!l(tfracnpi xLr),dx
Como u(x,0)=6+4cos(3pi x/L) temos
A0=6, A3=4, An=0 (nneq3)

Passo 5

Substituindo apenas o modo n=3 não nulo resulta
u(x,t)=6 +4exp!l(-tfrac3^2pi^24L^2,tr) cos!l(tfrac3pi xLr)

Resposta

u(x,t)=6 +4exp!l(-9pi^24L^2,tr) cos!l(tfrac3pi xLr)

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