Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio r unidades por meio de um corte.
R1 gira em torno do eixo y; os elementos retangulares são paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio r usando o método de cascas cilíndricas: giramos em torno do eixo y um semi-círculo de equação x^2 + y^2 = r^2 e vamos precisar identificar raio, altura e espessura das cascas.

Passo 2

A região R1 é dada pelos pontos (x,y) com 0 <= x <= r e -raizr^2 - x^2 <= y <= raizr^2 - x^2. Ao girar em torno de y, cada retângulo paralelo ao eixo de revolução gera uma casca cilíndrica.

Passo 3

Em um ponto genérico x, a casca tem raio x, espessura dx e altura igual à diferença entre o limite superior e inferior de y, ou seja, 2raizr^2 - x^2. Logo o volume infinitesimal é
dV = 2pi,(raio),(a

Passo 4

O volume total é a integral de x=0 até x=r:
V = integral0^r4pi xraizr^2 - x^2,dx

Passo 5

Para calcular, use a substituição u = r^2 - x^2, então du = -2x,dx e x,dx = -tfrac12du. Os limites em u vão de r^2 a 0. Assim
V = 4pi integral0^r xraizr^2 - x^2,dx = 4pi l(-tfrac12r) integralr^2^0 u^1/2,du = 2pi integral0^r^2 u^1/2,du

Passo 6

Agora
integral0^r^2 u^1/2,du = 23u^3/2|0^r^2 = 23(r^2)^3/2 = 23r^3

Passo 7

Substituindo de volta,
V = 2pi cdot 23r^3 = 43pi r^3

Resposta

V = tfrac43pi r^3

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