Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio
unidades por meio de um corte.
gira em torno do eixo
; os elementos retangulares são paralelos ao eixo de revolução.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio
usando o método de cascas cilíndricas: giramos em torno do eixo
um semi-círculo de equação
e vamos precisar identificar raio, altura e espessura das cascas.
Passo 2
A região
é dada pelos pontos
com
e
. Ao girar em torno de
, cada retângulo paralelo ao eixo de revolução gera uma casca cilíndrica.
Passo 3
Em um ponto genérico
, a casca tem raio
, espessura
e altura igual à diferença entre o limite superior e inferior de
, ou seja,
. Logo o volume infinitesimal é
Passo 4
O volume total é a integral de
até
:
Passo 5
Para calcular, use a substituição
, então
e
. Os limites em
vão de
a
. Assim
Passo 6
Agora
Passo 7
Substituindo de volta,