Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio r unidades por meio de um corte.
R3 gira em torno da reta y=2; os elementos retangulares são paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Resumo da questão: queremos deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio r obtida ao girar uma semi-circunferência em torno da reta y=2. O conteúdo é o cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos cascos cilíndricos, e vamos precisar da equação do círculo e da fórmula elementar dV=2pi(raio)(a.

Passo 2

Definição da região R3: considere a meia-circunferência de centro (0,2) e raio r, mas apenas a parte superior ( y>=2). Em coordenadas:
R3 = l(x,y):-raizr^2-(y-2)^2<= x<=raizr^2-(y-2)^2, 2<= y<=2+rr

Passo 3

Escolha de um elemento horizontal: tome uma tira em altura y, de espessura dy, e comprimento
L(y)=2raizr^2-(y-2)^2

Passo 4

Identificação do casco: ao girar essa tira em torno de y=2, ela gera um casco cilíndrico com raio u=y-2, altura L(y) e espessura dy. Logo o elemento de volume é
dV=2pi,(raio),(a
onde fizemos a mudança u=y-2. Os limites passam de y=2 e y=2+r para u=0 e u=r.

Passo 5

Montagem da integral:
V=integraly=2^2+r4pi,(y-2)raizr^2-(y-2)^2,dy=4piintegralu=0^ruraizr^2-u^2,du

Passo 6

Cálculo da integral: use t=r^2-u^2, com dt=-2u,du. Temos
integral0^r uraizr^2-u^2,du=-tfrac12integralr^2^0t^1/2,dt=tfrac12integral0^r^2t^1/2,dt=tfrac12cdottfrac23(r^2)^3/2=tfracr^33

Passo 7

Substituindo de volta, obtemos
V=4picdottfracr^33=tfrac43pi r^3

Resposta

V=tfrac43pi r^3

Exercícios relacionados