Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio
unidades por meio de um corte.
gira em torno da reta
; os elementos retangulares são paralelos ao eixo de revolução.
Passo 1
Resumo da questão: queremos deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio
obtida ao girar uma semi-circunferência em torno da reta
. O conteúdo é o cálculo de volume de sólidos de revolução pelo método dos cascos cilíndricos, e vamos precisar da equação do círculo e da fórmula elementar
.
Passo 2
Definição da região
: considere a meia-circunferência de centro
e raio
, mas apenas a parte superior (
). Em coordenadas:
Passo 3
Escolha de um elemento horizontal: tome uma tira em altura
, de espessura
, e comprimento
Passo 4
Identificação do casco: ao girar essa tira em torno de
, ela gera um casco cilíndrico com raio
, altura
e espessura
. Logo o elemento de volume é
onde fizemos a mudança
Passo 5
Montagem da integral:
Passo 6
Cálculo da integral: use
, com
. Temos
Passo 7
Substituindo de volta, obtemos